давление в центре Земли

[Zai]

Для бесконечного пространства решение при действии распределенных по пространству сил дано еще Кельвином в публикации Thompson W., Cambridge and Dublin Math. J., 3(1848). По Новацкому уравнение имеет вид:

$$(\lambda + 2 \mu )\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{u} - \mu \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{u}+\rho\mathbf{g}=0$$

Представляя решение и правую часть в виде:

$$\mathbf{u}=\operatorname{grad} \phi+\operatorname{rot} \mathbf{\psi} $$

$$\mathbf{ g}=\rho(\operatorname{grad} \theta+\operatorname{rot} \mathbf{\chi}) $$

Получаем уравнения Пуассона, имеющие известные решения для бесконечного пространства:

$${\nabla}^2 \mathbf{\phi}+\frac {\rho \theta} { \lambda +2 \mu } =0$$

$${\nabla}^2 \mathbf{\psi}+\frac {\rho \mathbf{\chi}} { \mu } =0$$

Интересно, есть ли ненулевая завихренность у напряженности гравитационного поля?
Решение для конечной области сложнее и я пока его не нашел в литературе.

[Munin]

Вот только $\lambda$ и $\mu$ мы считаем незаданными... См. конец 1 - начало 2 страницы темы.

[Zai]

$\lambda$ и $\mu$ называются параметрами Ламе (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%BC%D0%B5) и экспериментально определяются.

[AndreyL]

Хорошо! А как эти параметры определить экспериментально в случае Земного Шара? Да, и когда мы вначале обсуждали вопрос в условиях сферической симметрии, этих параметров не было.

[Munin]

Задание $\lambda$ и $\mu$ эквивалентно заданию $E$ и $\sigma,$ от которого мы отказались.
Вопрос справедливый: мы не можем экспериментировать с недрами Земли. И раз сферически симметричная задача решается без этих параметров, нельзя ли и для отсутствия симметрии обойтись без них?

[Zai]

Параметры упругих тел экспериментально можно определить косвенно, для Земли это можно сделать по прохождению мощных сейсмических волн, или в экспериментах, известных в физике высоких давлений.
Без данных параметров сферически симметричная задача решается только для несжимаемого тела. В случае сжимаемого тела решение будет зависеть от коэффициента Пуассона.
Для задачи типа параллепипеда давление в центре, в случае постоянных по пространству параметров, зависит только от безразмерного коэффициента Пуассона.

[AndreyL]

Zai в сообщении #474987 писал(а):

Без данных параметров сферически симметричная задача решается только для несжимаемого тела.

Хорошо, пусть пока будет для несжимаемого тела, но в прямоугольных координатах и без сферической симметрии.

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Zai в сообщении #474819 писал(а):

Интересно, есть ли ненулевая завихренность у напряженности гравитационного поля?

Конечно же — нет, поскольку выражение для напряженности гравитационного поля имеет вид

$$ \vec{g}(\vec{r}) = - \int \dfrac {\rho(\vec{r}\,') \left(\vec{r}-\vec{r}\,'\right)} {\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|^3} \, \mathop\mathrm{d{}} V(\vec{r}\,') , $$

где $\rho(\vec{r})$ — плотность массы как функция радиус-вектора $\vec{r}$, а объемный интеграл берется по части пространства, занятой тяготеющей массой. По аналогии с напряженностью электрического поля отсюда следует, что $\vec{g}\left(\vec{r}\right)$ удовлетворяет уравнениям

$$ \nabla\cdot\vec{g} = - 4\pi\rho ,\quad \nabla\times\vec{g} = 0 . $$

[Александр Т.]

(Оффтоп)

Александр Т. в сообщении #475055 писал(а):

$$ \vec{g}(\vec{r}) = - \int \dfrac {\rho(\vec{r}\,') \left(\vec{r}-\vec{r}\,'\right)} {\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|^3} \, \mathop\mathrm{d{}} V(\vec{r}\,') , $$

$$ \nabla\cdot\vec{g} = - 4\pi\rho ,\quad \nabla\times\vec{g} = 0 . $$

Забыл домножить на гравитационную постоянную $\gamma$.

$$ \vec{g}(\vec{r}) = - \int \dfrac {\gamma\rho(\vec{r}\,') \left(\vec{r}-\vec{r}\,'\right)} {\left|\vec{r}-\vec{r}\,'\right|^3} \, \mathop\mathrm{d{}} V(\vec{r}\,') , $$

$$ \nabla\cdot\vec{g} = - 4\pi\gamma\rho ,\quad \nabla\times\vec{g} = 0 . $$

[Munin]

Zai в сообщении #474987 писал(а):

Без данных параметров сферически симметричная задача решается только для несжимаемого тела. В случае сжимаемого тела решение будет зависеть от коэффициента Пуассона.

Нет, итоговая плотность задана.

Кажется, начинаю понимать, плотность - скаляр...

[AndreyL]

Munin в сообщении #475072 писал(а):

Кажется, начинаю понимать, плотность - скаляр...

Скажем так - скалярная функция, заданная в трехмерном пространстве, тогда для сравнения со сферической задачей ее можно занулить за пределами шара.

[Munin]

Нет, речь о другом: задание плотности - в чём-то компенсирует не-задание параметров упругости, поскольку из приложенной нагрузки и упругости получается в конечном счёте степень сжатия - плотность. Но плотность скалярна, а степень сжатия входит в состав тензора деформации - шесть компонент. Так что в сферически симметричном случае задание плотности позволяет обойтись без всего остального, а в несимметричном - нет.

[AndreyL]

Не понял, почему "степень сжатия - плотность". Никак не связанные между собой величины, плотность существует и без всякого сжатия.

[Munin]

Если задана начальная плотность и степень сжатия, то известна итоговая плотность.

[AndreyL]

Пока бы разобраться с несжимаемым случаем.