2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение11.08.2011, 14:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Исходное задание было такое: $a_n=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac1{{n\choose k}}$. Найти предел $a_n$

(Оффтоп)

Это вроде решилось.
Действовал так:
$a_{n+1}=1+\frac{a_n(n+2)}{2n+2}\Leftrightarrow\frac{2^{n+1}}{n+2}a_{n+1}=a_n\frac{2^n}{n+1}+\frac{2^{n+1}}{n+2}\Leftrightarrow$
$a_n=\frac{2(n+1)}{2^n}+2\frac{n+1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{2^n}{n+2}}{\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^n}{n+1}}=1\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$
Возник вопрос:
Как найти первый член асимптотического разложения последовательности $b_n=a_n-2$? У меня получилось, что $b_n\sim 2^{-n}$, но я что-то сомневаюсь... помогите пожалуйста разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение11.08.2011, 14:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Я так понял, что $a_n = 2 + \frac{2}{n} + \frac{2}{\binom{n}{2}}+...$ - асимптотическое разложение, каждый член падает быстрее предыдущего :roll: В принципе можно помучиться и довести некоторые члены до вида $c_kn^{-k}$.
А как получилось $e^{-n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение11.08.2011, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Sonic86, я немного неправильно вопрос задал :oops:
Как из такого разностного уравнения достать первый член асимптотики?

-- 11.08.2011, 16:23 --

Не у меня неправильно, я нето делал вообще :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение11.08.2011, 15:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
xmaister в сообщении #474873 писал(а):
Sonic86, я немного неправильно вопрос задал :oops:
Как из такого разностного уравнения достать первый член асимптотики?

Можно представить $a_n$ в общем виде $c_0 + \frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n^2}+...$ подставить и найти коэффициенты. Есть хороший пример в книге Грэхема, Кнута, Паташника Конкретная математика в главе "Асимптотика" - там находится асимптотика для функции $n!$ - гляньте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение12.08.2011, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Ну составлением дифура у меня не получилось
$b_n=a_n-2$
$b_{n+1}+2=1+\frac{(b_n+2)(n+2)}{2n+2}\Leftrightarrow b_{n+1}=\frac{(b_n+2)(n+2)}{2n+2}-1\Leftrightarrow b_{n+1}=\frac{b_n(n+2)}{2n+2}+\frac1{n+1}\Leftrightarrow$
$b_{n+1}=\frac{b_n}{2n}(n+2)\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac1{n^k}+\frac1{n+1}\Leftrightarrow b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac1{n^{k+1}}+\frac1{n+1}$
$b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+o(b_n)+\frac1{n+1}$
А что с этим делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение12.08.2011, 06:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9117
Лучше экспериментировать с суммой $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{k}$ (через неё $a_n$ легко выражается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение12.08.2011, 08:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
$a_n=\frac{2(n+1)}{2^n}+\frac{2(n+1)}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}$, $b_n=\frac{2(n+1)}{2^n}+2\left(\frac{n+1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}-1\right)$. Понятно, что $\frac{2^n}{n+1}\sim\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}$. А вот что быстрее стремится к нулю $\frac{n+1}{2^n}$ или $\frac{n+1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^k}{k+2}-1$ не могу понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение12.08.2011, 08:48 
Заслуженный участник


20/12/10
9117
Надо искать асимптотический ряд вида $\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}=\frac{2^{n+1}}{n+1}(1+\frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n^2}+\ldots)$. Здесь $c_1=2$, $c_2=4$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма обратных биномиальных коэффициентов
Сообщение12.08.2011, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
nnosipov в сообщении #474973 писал(а):
Надо искать асимптотический ряд вида $\sum_{k=1}^n\frac{2^k}{k}=\frac{2^{n+1}}{n+1}(1+\frac{c_1}{n}+\frac{c_2}{n^2}+\ldots)$. Здесь $c_1=2$, $c_2=4$ и т.д.

Ааа, кажется понял. Т.е. $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k}=\frac{2^{n+1}}{n+1}+o\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}\right)$
$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k}-\frac{2^{n+1}}{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\sim\frac{2\cdot 2^{n+1}}{n(n+1)}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k}=\frac{2^{n+1}}{n+1}+\frac{2\cdot 2^{n+1}}{n(n+1)}+o\left(\frac{2\cdot 2^{n+1}}{n(n+1)}\right)$

-- 12.08.2011, 11:48 --

(Вопрос)

Чтобы не создавать новую тему напишу здесь:
А если рассмотреть последовательность $a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_n}$, $a_1=\sqrt[3]6$. То как найти первый член асимптотического разложения для $b_n=2-a_n$. Дифур тут вроде бы не катит...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group