Неравенство

[MrDindows]

$3(x^4+y^4+z^4)+3xyz(x+y+z)+2(x^2y^2+x^2z^2+z^2y^2) \geq 4(x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y)$
Ща сюда Шура попробую прикрутить)

Что-то не получается...

[Sasha2]

Выделив в правой части слагаемые вида $(x-y)^4$, $(y-z)^4$ и $(z-x)^4$, сводим данное неравенство к такому:
$x^4+y^4+z^4+3xyz(z+y+z) \ge 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$.
Правда пока непонятно, верно это неравенство или неверно, а также проще ли оно (если, конечно оно верно) исходного или же нет.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Извините, что встреваю. Не можете для не непосвящённых пояснить, что есть неравенство Чебышева? Т.е. из курса ТерВера хорошо его помню, но это вроде не то.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Извиняюсь. Википедия. Неравенство Чебышёва для сумм.

[karzhas]

MrDindows в сообщении #422810 писал(а):

Такое вот: $a$ и $b$ – различные натуральные числа такие, что $ab(a + b)$ делится на $a^2+ab+b^2$. Докажите, что $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

Я дошёл до того, что
$a^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
$b^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
И ещё кучу всякой фигни получил, но то что треубется, доказать не смог)

Задачу надо начинать с того, что а=dx, b=dy, подставить под условие, а дальнейшее решение не помню

[mihiv]

karzhas в сообщении #474206 писал(а):

MrDindows в сообщении #422810 писал(а):

Такое вот: $a$ и $b$ – различные натуральные числа такие, что $ab(a + b)$ делится на $a^2+ab+b^2$. Докажите, что $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

Я дошёл до того, что
$a^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
$b^3 \vdots \ a^2+ab+b^2$
И ещё кучу всякой фигни получил, но то что треубется, доказать не смог)

Пусть $d$ НОД $a$ и $b$,тогда из того,что $a^3$ и $b^3$ делятся на $a^2+ab+b^2$ следует,что на это выражение делится $d^3$,а,следовательно,и $(b-a)^3$.
Тогда $|b-a|^3\geq a^2+ab+b^2\geq 3ab$ и $|b-a|\geq \sqrt [3] {3ab}$.