степени многомерных функций распределения

[alisa-lebovski]

Пусть $F(x_1,\dots,x_n)$ - многомерная функция распределения, а $T_s$, $s>0$, - носитель распределения, заданного функцией распределения $F^s(x_1,\dots,x_n)$, если это действительно функция распределения, и пустое множество иначе. Верно ли, что множество $T_s$ не убывает с ростом $s$ (т.е. предыдущие вложены в следующие)? Верно ли это хотя бы при $n=2$? Если $F^s(x_1,\dots,x_n)$ является функцией распределения при всех $s>0$, верно ли, что у нее $T_s$ постоянно?

[PAV]

А почему степень функции распределения может оказаться не функцией распределения? Вроде как монотонность, предельные соотношения и определенная непрерывность - все это не должно нарушаться при таких преобразованиях?

[alisa-lebovski]

Может нарушаться неравенство прямоугольника.
Например, пусть $(\xi_1,\xi_2)$ принимает значения $(0,1)$ и $(1,0)$ равновероятно, тогда

$$F(0,0)=0, F(1,0)=F(0,1)=1/2, F(1,1)=1.$$

Вероятность попадания в $(0,1]^2$ при $F^s$:

$$F^s(1,1)-F^s(0,1)-F^s(1,0)+F^s(0,0)=1-2^{1-s}\left\{ \begin{array}{ll} <0,&0<s<1;\\ =0,&s=1;\\ >0,&s>1.\\ \end{array} \right. $$

То есть при $0<s<1$ это не функция распределения, а при $s>1$ меняется носитель - добавляется точка $(1,1)$.

[alisa-lebovski]

alisa-lebovski в сообщении #474736 писал(а):

Верно ли, что множество $T_s$ не убывает с ростом $s$ (т.е. предыдущие вложены в следующие)?

Первый вопрос снимается - в общем случае это неверно. Пример уже тут когда-то приводился RIP: равномерное на точках $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$; при $1<s<2$ не функция распределения, т.к. вероятность попадания в $(0,1]^3$ получается отрицательная.