Тогда если второй многочлен в скобках имеет корни, то

Пожалуй, неточность здесь. В

раскладывается на линейные множители, а значит при проверке следует не делить на многочлен

, а искать

. Точно почему он разлагается на линейные множители, я не помню - можно в учебнике посмотреть.
Нет, он обязан так раскладываться только в поле разложения, которое для этого многочлена изоморфно

или
![$R[x]/(x^2+1)$ $R[x]/(x^2+1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/7/2c7d5607adf2de5b915e322a9024b4be82.png)
. А оно в свою очередь не будет изоморфно
![$Q[x]/(x^4+1)$ $Q[x]/(x^4+1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/5/f05a60555a4d433f1e1863955cc71df082.png)
(разные мощности)
А почему поле разложения вдруг изоморфно

?
Блин, боюсь Вас только запутать. Однако нужными эти рассуждения точно не являются: надо ведь просто многочлен разложить в поле.
Во: если кубический многочлен неразложим над

, то это противоречит неприводимости

над

, корнем которого является

.
Точно скажу одно: Вы в

разложите многочлен на множители - это будет точно искомое разложение.