Задача на простое расширение поля

[NiGHTeR]

Дан неразложимый в поле $Q$ многочлен $x^4+1$. Нужно присоединить его корень $\theta$ и разложить данный многочлен в поле $Q(\theta)$

Мои соображения: Искомое расширение будет изоморфно $Q[x]/(x^4+1)$. Изоморфизм стоится так: $x\to \theta$. Если z какой то многочлен из этого поля, то:
деля столбиком$ z^4+1$ на $z-x$, и учитывая что $x^4+1=0$ получаем:$ z^4+1=(z-x)(z^3+xz^2+x^2z+x^3)$
Пусть $a_0$ свободный член многочлена z. Тогда если второй многочлен в скобках имеет корни, то

$a_0^3+a_0^2x+a_0x^2+x^3 \equiv 0 \mod(x^4+1) $что очевидно выполняться не может. Значит искомое разложение:

$(x-\theta)(x^3+\theta x^2+\theta^2 x+\theta^3)$

Все правильно?

[Sonic86]

Неприводимый многочлен должен в поле расширения раскладываться на линейные множители, Вы недоразложили.
Если затрудняетесь с разложением, разложите $z^4+1$ в $\mathbb{C}$.

[NiGHTeR]

А где тогда неточность в рассуждении?

-- Пн авг 08, 2011 11:43:33 --

Sonic86 в сообщении #474080 писал(а):

Неприводимый многочлен должен в поле расширения раскладываться на линейные множители, Вы недоразложили.
Если затрудняетесь с разложением, разложите $z^4+1$ в $\mathbb{C}$.

Нет, он обязан так раскладываться только в поле разложения, которое для этого многочлена изоморфно $C$ или $R[x]/(x^2+1)$. А оно в свою очередь не будет изоморфно $Q[x]/(x^4+1)$ (разные мощности)

получается что на линейные раскладываться не будет вроде

-- Пн авг 08, 2011 12:14:04 --

точнее поля должны быть не изоморфны, а достаточно что бы поле $Q[x]/(x^4+1)$ содержало $R[x]\(x^2+1)$ что очевидно не выполняется

[Sonic86]

NiGHTeR в сообщении #474064 писал(а):

Тогда если второй многочлен в скобках имеет корни, то
$a_0^3+a_0^2x+a_0x^2+x^3 \equiv 0 \mod(x^4+1) $

Пожалуй, неточность здесь. В $Q(\theta)$ $x^4+1$ раскладывается на линейные множители, а значит при проверке следует не делить на многочлен $x^4+1$, а искать $\text{НОД}$. Точно почему он разлагается на линейные множители, я не помню - можно в учебнике посмотреть.

NiGHTeR в сообщении #474104 писал(а):

Нет, он обязан так раскладываться только в поле разложения, которое для этого многочлена изоморфно $C$ или $R[x]/(x^2+1)$. А оно в свою очередь не будет изоморфно $Q[x]/(x^4+1)$ (разные мощности)

А почему поле разложения вдруг изоморфно $\mathbb{C}$?

Блин, боюсь Вас только запутать. Однако нужными эти рассуждения точно не являются: надо ведь просто многочлен разложить в поле.
Во: если кубический многочлен неразложим над $P(\theta)$, то это противоречит неприводимости $x^4+1$ над $\mathbb{Q}$, корнем которого является $\theta$.
Точно скажу одно: Вы в $\mathbb{C}$ разложите многочлен на множители - это будет точно искомое разложение.

[Someone]

Пусть $\theta$ - корень уравнения $x^4+1=0$. Тогда $\theta^4=-1$ и $\theta^8=1$, то есть, $\theta$ является корнем восьмой степени из единицы и не является корнем меньшей степени из единицы. Какие степени $\theta$ (меньшие восьмой, естественно) удовлетворяют уравнению $x^4+1=0$? Принадлежат ли эти степени полю $\mathbb Q(\theta)$?

[NiGHTeR]

то есть получается $(x-\theta)(x-\theta^3)(x-\theta^5)(x-\theta^7)$

[Sonic86]

Почти. $\theta$ - алгебраическое число степени $4$, так что $\theta ^5, \theta ^7$ можно еще для полного счастья представить в виде многочленов от $\theta$ степени, не большей $3$.

[NiGHTeR]

Еще такая задача, доказать что поле корней 8 степени из единицы квадратично над Q[i]

Раскладываем $x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$
Очевидно, 1, -1, i, -i лежат в Q[i]
Далее, непосредственно можно показать что $x^4+1$ неразложим в Q[i], а присоединение одного корня дает поле, в котором лежат все корни. Значит квадратично

[Sonic86]

Я так понимаю, что $K$ квадратично над $P$, если $K=P(\alpha)$, где $\alpha$ - корень квадратного уравнения с коэффициентами из $P$? Если да, то нужно, например, указать корень квадратного уравнения или само уравнение, корень которого Вы присоединяете. Ведь алгебраичное расширение всегда простое, значит недостаточно просто сказать, что мы добавили один корень (мы ведь могли добавить и корень уравнения $x^p=1$ для простого $p$), нужно еще показать, что корень удовлетворяет квадратному уравнению.

[NiGHTeR]

Ну в $ Q[i]$ $ x^4+1$ раскладывается как $(x^2+i)(x^2-i)$ поэтому присоединяем корень $x^2+i$ например

[Sonic86]

NiGHTeR в сообщении #474655 писал(а):

Ну в $ Q[i]$ $ x^4+1$ раскладывается как $(x^2+i)(x^2-i)$ поэтому присоединяем корень $x^2+i$ например

Вот это и надо было написать