Неразрешимая задача

[ewert]

Батороев в сообщении #474164 писал(а):

Мое восприятие конусов данного типа претерпело существенные изменения. По первости я почему-то посчитал, что сечение, перпендикулярное оси конуса, - это эллипс. Но это не так.

Теперь претерпите ещё одно изменение: это всё-таки эллипс.

Кстати, в дополнение к задачке

Цитата:

20.23. Докажите, что у наклонного конуса с круговым основанием C есть круговые сечения плоскостями, не параллельные этому основанию.

(доказательство в книжке основывается на инверсии). А сразу за этим условием стоит довольно несуразный текст:

Цитата:

Круговое сечение конуса, построенное в решении задачи 20.23, называют антипараллельным основанию.

Несуразность, во-первых, в том, что ссылаться в определении на решение, а не на формулировку, довольно странно. А во-вторых, предлагается следующее развитие темы:

Пользуясь только средствами Прасолова, доказать, что других круговых сечений, кроме параллельных и антипараллельных, не существует.

[Батороев]

ewert в сообщении #474178 писал(а):

Батороев в сообщении #474164 писал(а):

Мое восприятие конусов данного типа претерпело существенные изменения. По первости я почему-то посчитал, что сечение, перпендикулярное оси конуса, - это эллипс. Но это не так.

Теперь претерпите ещё одно изменение: это всё-таки эллипс.

Здесь опять у меня сомнение. Проекция кругового сечения на плоскость перпендикулярную оси конуса - это точно эллипс. Но проекция получается при помощи параллельного переноса. Получится ли эллипс в случае непараллельного переноса - в этом у меня сомнение.

ewert в сообщении #474178 писал(а):

Кстати, в дополнение к задачке

Цитата:

20.23. Докажите, что у наклонного конуса с круговым основанием C есть круговые сечения плоскостями, не параллельные этому основанию.

.......

Несуразность, во-первых, в том, что ссылаться в определении на решение, а не на формулировку, довольно странно. А во-вторых, предлагается следующее развитие темы:

Пользуясь только средствами Прасолова, доказать, что других круговых сечений, кроме параллельных и антипараллельных, не существует.

Я не большой знаток теории. Поэтому зачастую исхожу из принципа: "Жираф большой, ему видней".
А если серьезно, то может об этих антипараллельных сечениях написано в учебниках. Книга же Прасолова - задачник. Поэтому такой подход, на мой взгляд, вполне допустим.

[ewert]

Батороев в сообщении #474348 писал(а):

Получится ли эллипс в случае непараллельного переноса - в этом у меня сомнение.

А как он может не получиться, если это поверхность второго порядка. Уравнение окружности в основании -- допустим, $x^2+y^2=R^2$. При параллельном скольжении плоскости сечения вверх центр окружности сдвигается линейно по отношению к высоте подъёма и так же линейно уменьшается радиус. Т.е. получается уравнение поверхности вида $(x-\alpha z)^2+(y-\beta z)^2=(R-\gamma z)^2$. Ну так это поверхность второго порядка. Т.е. эллиптический (в ортогональном сечении) конус.

Батороев в сообщении #474348 писал(а):

может об этих антипараллельных сечениях написано в учебниках. Книга же Прасолова - задачник.

Дело не в задачниковости, а в том, что Прасолов старается исходить лишь из чисто геометрических соображений. Мне вот показалось, что можно разобраться во всём этом, не прибегая к аналитической геометрии; однако потом что-то засомневался, что это сделать легко. Т.е. очень просто доказывается, что этот конус имеет две плоскости симметрии (и, соответственно, ось симметрии), но вот дальше отслеживать изменение соотношения "полуосей" (будем считать, что мы не знаем, что такое эллипс) в зависимости от угла наклона сечения по отношению к оси симметрии -- уже как-то занудно. И тем не менее -- Прасолову для приличия следовало бы добавить оговорку типа: "Можно доказать, что...". А так текст получился несколько двусмысленным.

[Батороев]

Немножко запутался, немного отвлекся...


На виде сбоку конуса (неравнобедренный треугольник $ABC$; угол $ C$ больше угла $A$; $B$ - вершина конуса, середина $AC$ - т. $O$ - центр окружности основания конуса) проведем из т. $C$ перпендикуляр к $BO$. Точку пересечения этого перпендикуляра с $AB$ обозначим через $D$. $CD$ - это след той фигуры, которую мы рассматриваем.
Если данная фигура эллипс, то по идее, опустив перпендикуляр из $D$ на прямую $AC$ , мы должны получить след окружности $EC$. Тогда, проведя из т. $E$ прямую, параллельную $BC$ (т. пересечения с $AB$ - т. $F$) и проведя из т. $F$ прямую, параллельную $AC$ - отрезок $FG$, мы получим уменьшенный конус $FBG$ с круговым основанием.

Если теперь нарисовать вид сверху, то конус $FBG$ (окружность диаметра $FG$, соединенная касательными с т. $B$) должен быть в пределах конуса $DBC$ (окружность диаметра $EC$, соединная касательными с т. $B$), но этого не происходит.

Вот это меня и смущает, а в чем причина не пойму? Может, все таки не эллипс та фигура?

[Батороев]

Батороев в сообщении #474844 писал(а):

Если данная фигура эллипс, то по идее, опустив перпендикуляр из $D$ на прямую $AC$ , мы должны получить след окружности $EC$.

Здесь я "погорячился". Будет след также эллипса. Тогда вид сверху может быть получен!

[vvvv]

vvsss в сообщении #473943 писал(а):

Уважаемый неизвестный участник!
Вы сформулировали то, о чём я думал, когда открыл тему, но сделали это блестяще!
Я бы так не смог.

Может Вы или кто ещё поможете другой задаче, которую я пока действительно не понимаю.
Это 20.21. Четыре сферы попарно касаются в различных точках, и их центры лежат в одной плоскости. Пятая сфера касается всех этих сфер. Найдите отношение её радиуса к расстоянию от её центра до плоскости. (Прасолов 20.21).Формулировка не совсем совпадает из-за обнаруженной проблемы. У Прасолова указан ответ.
Загадки для меня начинаются с фразы
И образы этих сфер, и образ сферы S касаются пары параллельных плоскостей, поэтому их радиусы равны.
Дапее текст завязанный на этой идее.
Рассмотрим (для образов при инверсии) сечение плоскостью, равноудалённой от пары наших параллельных плоскостей. Пусть A и B (лежащие в плоскости)—центры образов сфер, C—центр третьей сферы, a CD—высота равностороннего треугольника ABC. Если R—радиус сферы S*, тоCD =p3AC2= √3R. Поэтому для сферы S* отношение радиуса к расстоянию от центра до плоскости _ равно 1 :√3. Остаётся заметить, что при инверсии с центром, принадлежащим плоскости _, отношение радиуса сферы к расстоянию от её центра до плоскости _ одно и то же и для сферы S, и для сферы S*(см. задачу 20.8).
На мой взгляд здесь что-то не так. Не обязаны сферы касаться двух плоскостей - только одной. И если радиус образа пятой сферы это среднее геометрическое образов третьей и четвертой - все получается. При этом ответ уже не по Прасолову.

На этом рисунке исходные сферы без пятой.

На этом рисунке результат инверсии - Рисунок прилагаю, но уверенности пока нет, так как не построил
пятую сферу. Или надо решить систему не самых сладких уравнений, или разобраться с инверсией.
Заранее благодарен.
Владимир

Картинка должна быть не такой.Касание сфер должно быть попарным т.е. любые две сферы должны касаться - у Вас не так.