Условное неравенство от пяти переменных

[arqady]

Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ положительны и такие, что $ab+ac+bc=\frac{4}{3}de$. Докажите, что:

$$(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)\geq26$$

[Edward_Tur]

Используя несколько раз AM-GM, получаем:

$$(a+b+c+d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)\geq$$

$$\geq13+(a+b+c)\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\right)+(d+e)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=$$

$$=13+(d+e)\left(\frac{a+b+c}{de}+\frac{kde}{abc}\right)\geq13+2 \sqrt{3}\left(\frac{k+3}{\sqrt{k}}\right)=26$$

, где $k=\frac{4}{3}.$