Разность хода двух когерентных волн

[Gees]

Munin

Пусть в данную точку пространства приходят 2 световые волны одной частоты, световые векторы которых колеблются в одной плоскости:
${y}_{1}={A}_{1}{cos({\omega}{t}+{\varphi}_{1});}$
${y}_{2}={A}_{2}{cos({\omega}{t}+{\varphi}_{2});}$
Результирующая волна запишется в виде: ${y}={A}{cos({\omega}{t}+{\varphi});}$
Амплитуда результирующих колебаний:
${A}={A}_{{1}{2}}+{A}_{{2}{2}}+{2}{A}_{1}{A}_{2}{cos({\varphi}_{2}-{\varphi}_{1});}$
${A}_{2}\neq{A}_{{1}{2}}+{A}_{{2}{2}};$
${I}\neq{I}_{1}+{I}_{2};$
Результат сложения зависит от разности фаз ${\delta}={\varphi}_{1}-{\varphi}_{2}$ и заключается в пределах:
${|{A}_{1}-{A}_{2}|}\lneqq{A}\lneqq{|{A}_{1}+{A}_{2}|};$
${\delta}=\pm{({2}{k}+{1})}{\pi};$
${\delta}=\pm{2}{k}{\pi}$, где
${k}={0},{1},{2}… $

[Munin]

Начали за здравие... а дальше мрак. Что такое $A_{12}$ и $A_{22}$? Не пишите никаких букв, которые вы не ввели перед этим. Почему $\delta$ у вас всегда кратен $\pi$? А если вдруг не кратен? Короче, начиная со строчки "Амплитуда результирующих колебаний" всё переделать.

[Gees]

Munin

У меня больше мыслей нет пока никаких.

Ваш совет огласите пожалуйста?

Напишите пожалуйста всё здесь.

[Munin]

Возьмите ваши первые три уравнения, возьмите $y=y_1+y_2,$ и попытайтесь решить это уравнение относительно $A$ и $\varphi$ как неизвестных. Авось, и мысли появятся...

[Gees]

Munin

С того момента про амплитуду я не знаю.
Скажу прямо, что не знаю.
Без помощи не решу сам.
Выручайте меня пожалуйста.

[Munin]

Что вы скажете вообще о тригонометрическом уравнении

$$A\cos(\omega t+\varphi)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)?$$

Неизвестные $A$ и $\varphi.$

[Simonov]

Gees в сообщении #473837 писал(а):

Пусть в данную точку пространства приходят 2 световые волны одной частоты, световые векторы которых колеблются в одной плоскости:
${y}_{1}={A}_{1}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{1});}$
${y}_{2}={A}_{2}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{2});}$

Далее Вам необходимо воспользоваться формулой:

$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

И всё очень просто решится. Кстати об этом Вам подробно писали
Munin в сообщении #465600
ewert в сообщении #467551
Перечитайте вдумчиво эти посты, там дан исчерпывающий ответ на Ваш вопрос.

[Gees]

Munin

прикольная формулировка :)

Ну скажу, что суммой гармонических колебаний одной частоты, но разных фаз и амплитуд, является гармоническое колебание той же частоты.

-- 08.08.2011, 16:02 --

Simonov

${\alpha}={\omega}{t}$;
${\beta}={\varphi}$;
${\cos({\omega}{t}\pm{\varphi})}={\cos{\omega}{t}}}{\cos{\varphi}}\pm{\sin{\omega}{t}}}{\sin{\varphi}}$

[Munin]

Gees в сообщении #474159 писал(а):

Ну скажу, что суммой гармонических колебаний одной частоты, но разных фаз и амплитуд, является гармоническое колебание той же частоты.

Я просил что-то сказать о тригонометрическом уравнении. Вы тригонометрические уравнения в школе проходили?

Gees в сообщении #474159 писал(а):

${\alpha}={\omega}{t}$;
${\beta}={\varphi}$;
${\cos({\omega}{t}\pm{\varphi})}={\cos{\omega}{t}}}{\cos{\varphi}}\pm{\sin{\omega}{t}}}{\sin{\varphi}}$

Неверно. В смысле, так тоже можно разложить, но это вас к решению не приблизит.

[guryev]

Может, через формулу Эйлера проще будет?

[Simonov]

Gees в сообщении #474159 писал(а):

Simonov

${\alpha}={\omega}{t}$;
${\beta}={\varphi}$;
${\cos({\omega}{t}\pm{\varphi})}={{\cos{\omega}{t}}{\cos{\varphi}}\pm{\sin{\omega}{t}}}{\sin{\varphi}}$

Гм
Ну запись

$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

в данном случае означает

$\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$\cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

Соответственно у Вас будет

$\cos(\omega t + \varphi)=\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi $

Примените это разложение для ваших волн

${y}_{1}={A}_{1}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{1})}$
${y}_{2}={A}_{2}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{2})}$

А затем сложите их. Результат сложения сгруппируйте относительно $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$. Обратите внимание на что будет похоже полученное выражение.

Munin в сообщении #474217 писал(а):

Gees в сообщении #474159 писал(а):
${\alpha}={\omega}{t}$;
${\beta}={\varphi}$;
${\cos({\omega}{t}\pm{\varphi})}={\cos{\omega}{t}}}{\cos{\varphi}}\pm{\sin{\omega}{t}}}{\sin{\varphi}}$

Неверно. В смысле, так тоже можно разложить, но это вас к решению не приблизит.

Munin что то Вы поторопились с вердиктом, ведь здесь Вы пользовались этим же разложением.

[Munin]

Simonov в сообщении #474269 писал(а):

Munin что то Вы поторопились с вердиктом

Ну пусть так. Снимаю своё возражение и приношу извинения. Просто можно прийти к решению быстро, а можно медленно. В обоих случаях, сделан только первый шаг.

[Gees]

Simonov

${y}_{1}={A}_{1}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{1})}$
${y}_{2}={A}_{2}{\cos({\omega}{t}+{\varphi}_{2})}$

Их сумма:

${y}={y}_{1}+{y}_{2}$

Применяем формулу разложения для волн, получаем:

$$A\cos(\omega t+\varphi)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$$

Теперь применяем формулу:

$\cos(\omega t + \varphi)=\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi $

$${A}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)={A}_{1}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)+{A}_{2}(\cos \omega t \cos\varphi-\sin \omega t \sin \varphi)$$$

А как дальше?

[guryev]

Равенство
$A\cos(\omega t+\varphi)=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$ (1)
должно выполняться при любом $t$, следовательно:

1. Переписываем (1) для $t=0$ и для $t=-\frac{\pi}{2\omega}$, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

2. Возводим оба уравнения в квадрат, складываем, получаем явное выражение для $A^2$.

3. Делим одно на другое, получаем явное выражение для $\tg\varphi$. Дальше поаккуратнее - для получения $\varphi$ надо рассмотреть несколько вариантов.

[Gees]

guryev

Почему переписываем выражение (1) для ${t}={0}$ и для ${t}=-\dfrac{\pi}{{2}{\omega}}$?

Объясните пожалуйста откуда берётся и так ли это?

А также пункты (2) и (3) тоже?