Тригонометрическое уравнение.

[gris]

Прм взгляде на уравнение $2\sin 2x +3 \sin x+\cos x -1=0$ видно, что при $\cos x=1$ оно удовлетворяется (можно ли так сказать?).
Безу навевает, что правую часть хорошо бы представить в виде произведения $(\cos x -1)$ на некий тригонометрический многочлен от синуса и косинуса, но такое разложение, вроде бы не получается.
Или перейти к половинному углу в надежде на вынесение $\sin \dfrac x 2\,$? Но там что-то ужасное вырисовывается.
Эти идеи продуктивны? И как вообще красиво решить данное уравнение?

[ShMaxG]

gris в сообщении #473574 писал(а):

И как вообще красиво решить данное уравнение?

Вряд ли. Помимо очевидного решения у этого уравнения есть еще одно, очень страшное и кривое. Но выглядит оно так, будто где-то нужно кубическое уравнение (да еще и кривое) решать, которое имеет 1 действительный и 2 комплексных корня.
Я бы поделил уравнение на $\cos{x}-1$ и свел к кубическому.

[gris]

Спасибо, ShMaxG.
Вот с "поделить" у меня и проблема. Без квадратного корня не обойтись? Если бы уравнение было
$2\sin x \cos x- 2\sin x+\cos x -1=0$, то тут очевидной группировкой и разложением всё прекрасно решается.
Вопрос такой: при каких $n$ и $m$ уравнение $n\sin x \cos x+m\sin x+\cos x -1=0$ решается "красиво", то есть могло бы быть, например, школьным упражнением.
Ведь $\cos x=1$ всегда подходит из-за одновременного равенства нулю синуса.
При $m=-n$ ход решения понятен. А другие случаи возможны?

[ShMaxG]

В общем виде:

$$\[n\sin x\cos x + m\sin x + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\cos x - 1} \right)\left( {n\sin x - \left[ {m + n} \right]\frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}} + 1} \right) = 0\]$$

Итак, задача сводится к следующему уравнению:

$$\[n\sin x - \frac{{m + n}}{{\tan \frac{x}{2}}} + 1 = 0\]$$

Замена $\[t = \tan \frac{x}{2}\]$ приводит к

$$\[{t^3} + {t^2}\left( {n - m} \right) + t - \left( {m + n} \right) = 0\]$$

Видно, что если $m=-n$, то данное кубическое уравнение сводится к квадратному.
Если вдруг $n=0$, то за общий множитель можно вынести $t^2+1$.

Еще здесь есть серия нетривиальных решений, когда $m=-1$. В этом случае за скобку можно вынести $t+1$.

-- Пт авг 05, 2011 09:32:40 --

Получать "школьные постановки задач" в этом случае можно так: загадываете произвольное число $t_0$ и делите это кубическое уравнение на $t-t_0$. И посмотрите, там наверно (я не пробовал) будут вылезить какие-то условия на $n$ и $m$ для "школьных решений".

-- Пт авг 05, 2011 10:00:41 --

Получилось!
Итак, для того, чтобы произвольное $t_0$ было решением написанного выше кубического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы остаток от деления на него был равен нулю. Таким образом, необходимо и достаточно

$$\[m = {t_0} + n\frac{{t_0^2 - 1}}{{t_0^2 + 1}}\]$$

Итак, метод построения школьной задачи таков. Берете любое $t_0$ (для школьных целей лучше -- целое). Берете любое $n$. По формуле написанной выше определяете $m$. Все. Школьнику, который получил это кубическое уравнение остается угадать корень $t_0$! Остальное -- решение квадратного уравнения.

[gris]

Именно то, что нужно!

$$\[{t^3} + {t^2}\left( {n - m} \right) + t - \left( {m + n} \right) = 0\]$$

Хорошие корни $t=1$ и $t=-1$ будут при $m=1$ и $m=-1$ соответственно и при любом $n$, которое можно сделать таким, что квадратное уравнение, получившееся после подбора корня, не будет иметь действительных корней или иметь удобный корень.

Например, $m=-1;\,n=-2$ даёт уравнение
$t^3-t^2+t+3=0$. Корень $t=-1$ легко угадывается, а после деления получаем Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом.

Итак, $-2\sin x\cos x-\sin x+\cos x-1=0$. Tут легко угадать серию $\sin x=-1$. Но разложить на множители сходу не получается. Хотя внимательный школьник увидит квадратное уравнение относительно разности синуса и косинуса .
При $t_0=\pm 1$ получается такое уравнение относительно суммы или разности. А заставлять догадываться о корне $t_0=2$ как-то жестоко. Впрочем, получается $n=10; m=8$ и

$10\sin x\cos x+8\sin x+\cos x-1=0$

Вроде бы ничего!


Большое спасибо!