дифуззионный поток вещества на произвольную кривую

[FG-1]

Здравствуйте! Помогите разбраться.
Имеется среда с равномерным распределением частиц по объему. Среда (на положительной части Z) контактирует с поверхностью площадью S в плоскости ХУ, на которой имеется произвольная кривая у(х). Необходимо найти время за которое данная кривая покроется частицами. Между поверхностью и частицами действуют силы отталкивания, кроме той части поверхности, которая занята кривой - там притяжение.
Понятно, что в случае с одной частицей прилипающей на любую точку поверхности, находящейся на расстоянии х от стенки мы смело используем функцию ошибок (задача решена в гидродинамике Ландафшица). В нашем случае распределение вероятностей также определяется диффузионным уравнением. Однако далее можно решать трехмерное уравнение с граничным условием $w=0$ при $z=0$ и х,у принадлежащим области значения кривой в плоскости ХУ. Но задча для произвольной кривой и очевидно, что независимо от ее формы важна лишь ее длина, при условии равномерного распределения частиц по объему.
Во тут меня что-то клинит. Вроде бы надо просто взять уравнение диффузии $n(z,t)_t=Dn(z,t)_z_z$
и решение в точке $z=0$ проинтегрировать по длине кривой у(х). Препод говорит нет... Я понимаю, что он может иметь свое решение, но мой подход разве ошибочен?
Заранее спасибо!

[Zai]

Задачу можно свести к одномерной, если радиус кривизны линии на плоскости много больше толщины линии и плоскость не отталкивает частицы, а безразлична к ним - тогда она будет плоскостью симметрии.
Ваше уранение - аналог уравнения теплопроводности в плоском случае, в полярной системе координат. Концентрация будет зависеть только от расстояния до линии. Как же Вы зададите условие по прилипанию частиц - поверхностную концентрацию?

[FG-1]

Zai в сообщении #473387 писал(а):

Задачу можно свести к одномерной, если радиус кривизны линии на плоскости много больше толщины линии и плоскость не отталкивает частицы, а безразлична к ним - тогда она будет плоскостью симметрии.

А что значит безразлична к ним? Есть только два варианта - отталкивание и притяжение. Все зависит лишь от расстояния на котором действуют эти силы. Здесь отталкивания, но лишь в условиях "контакта". Т.о. можно сказать, что поверхность безразлична.

Zai в сообщении #473387 писал(а):

Ваше уранение - аналог уравнения теплопроводности в плоском случае, в полярной системе координат. Концентрация будет зависеть только от расстояния до линии. Как же Вы зададите условие по прилипанию частиц - поверхностную концентрацию?

Какая разница диффузии, теплопроводности... один черт.
А как обычно задают поверхностную концентрацию? Вы имеете ввиду граничные условия? Ширина кривой равна размеру частицы, т.е. на кривую может прилипнуть только одна частица.
Я планировал пойти другим путем. Искать диф. поток на плоскость и находить время за которое поверхности достигнет необходимое число частиц, чтобы заполнить кривую длинной L. Однако что-то не нравится преподу и уже смущает и меня самого...

[Zai]

Цитата:

Ширина кривой равна размеру частицы

Это уже граничное условие. Таким образом внутренний радиус равен радиусу частицы.
Уравнение имеет вид:
$\frac {\partial n} {\partial t} =k\frac 1 r \frac {\partial } {\partial r}(r \frac {\partial n} {\partial r})$
При t=0
$ n(r,0)=0 $ для $ r<r_0 $
$ n(r,0)=1 $ для $ r>r_0 $

[Non80]

Zai думаю прав и не надо ничего интегрировать по длине. Все в граничных условиях итак обозначено.

[FG-1]

Non80 в сообщении #473467 писал(а):

Zai думаю прав и не надо ничего интегрировать по длине. Все в граничных условиях итак обозначено.

Все так, да, не так....

Zai в сообщении #473446 писал(а):

Уравнение имеет вид:
$\frac {\partial n} {\partial t} =k\frac 1 r \frac {\partial } {\partial r}(r \frac {\partial n} {\partial r})$

Согласен, но далее:
При 0<t<T
$ n(r,0)=0 $ для $ r \ne r_0 $
$ n(r,0)=1 $ для $ r=r_0 $
Вот только получается, что от длины кривой у вас концентрация не зависит... странно.

[Zai]

Цитата:

... далее:
При 0<t<T
$ n(r,0)=0 $ для $ r \ne r_0 $
$ n(r,0)=1 $ для $ r=r_0 $

Непонятно что Вы хотели выразить. Начальные условия могут иметь разрыв.
Решать необходимо разделением переменных или численно в каком-то пакете.
Время будет соответствовать концентрации в центре r=0 значения $n=\frac {\frac 4 3 \pi R^3} {2R \pi R^2}$

Цитата:

Вот только получается, что от длины кривой у вас концентрация не зависит... странно.

Да ничего странного нет если ширина объекта на два или более порядка меньше длины.

[Zai]

R - радиус Ваших частиц. Концентрация n соответствует упаковке шаров в цилиндре - в числителе объем шара в знаменателе объем цилиндра длиной 2R

[Zai]

У Вас задача пространственная на нестационарную трехмерную диффузию. То что часть гранички плоская, да еще ширина линии равна одной частице - это Вы как учтете? Сколько частиц поместится на вашей узкой поверхности, сосчитайте, а после посчитайте среднюю поверхностную концентрацию. Посчитайте объем частиц над Вашей поверхностью. Попробуйте перейдти от поверхностных граничных условий к объемно-неоднородным начальным условиям. Учебники по уравнениям математической физики посмотрите.
Теорией размерности позанимайтесь, как из коэффициента диффузии и размера ширины линии получить размерность времени?