Система уравнений

[MrDindows]

Найти $x, \: y, \: z$ из системы уравнений:
$ \begin{cases} ax-by+\frac{1}{xy}=c \\ bz-cx+\frac{1}{xz}=a \\ cy-az+\frac{1}{yz}=b \end{cases} $

[Edward_Tur]

Имеем линейную систему относительно $a,b,c$, из которой
$a= \frac{1}{xz}, b= \frac{1}{yz}, c= \frac{1}{ xy}$.

[Руст]

Edward_Tur в сообщении #473305 писал(а):

Имеем линейную систему относительно $a,b,c$, из которой
$a= \frac{1}{xz}, b= \frac{1}{yz}, c= \frac{1}{ xy}$.

Так можно потерять часть решений, так как определитель $1-x^2-y^2-z^2$ может обращаться в 0.
Проще ввести новую переменную $d=\frac{1}{xyz}$ и решить линейную систему с определителем $-d(a^2+b^2+c^2+d^2)\not =0$.
Решение получается: $(x,y,z)=\frac{1}{d}(b,c,a), d=\sqrt{abc}.$

[TOTAL]

Руст в сообщении #473364 писал(а):

Edward_Tur в сообщении #473305 писал(а):

Имеем линейную систему относительно $a,b,c$, из которой
$a= \frac{1}{xz}, b= \frac{1}{yz}, c= \frac{1}{ xy}$.

Так можно потерять часть решений, так как определитель $1-x^2-y^2-z^2$ может обращаться в 0.

Определитель $1+x^2+y^2+z^2$ не равен нулю.

Можно вообще не решать систему, а переписать первое уравнения в виде
$x\left(a- \frac{1}{xz} \right) - y\left(b- \frac{1}{yz} \right) - \left(c- \frac{1}{xy} \right) =0$ (и другие аналогично). Получилась однородная система относительно выражений в круглых скобках с ненулевым определителем.

[MrDindows]

Всем спасибо)