Выпуклая оболочка

[Юстас]

Пусть $X\subset \mathbb{R}^n$, и $co\ X$ - выпуклая оболочка $X$. Докажите, что любой элемент из $co\ X$ представим как выпуклая комбинация не более чем $n+1$ элемента $X$. Докажите, что если $X$ - компактно, то и $co\ X$ - компактно.
Просьба ссылки на готовые решения не выкладывать.

[Юстас]

Дабы освежить интерес к теме, вот
Подсказка: пусть $y=\alpha_1 x_1+\dots+\alpha_k x_k, \ k>n+1,\ \sum \alpha_k=1$. Покажите, что существуют такие числа $\mu_k$, что $\sum\limits_{i=1}^{k}\mu_i x_i=0$ и $\sum\limits_{i=1}^{k} \mu_i=0$.

[maxal]

Первая часть задачи: если есть $n+1$ афинно-независимых точек в $X,$ то их линейные комбинации порождают все $\mathbb{R}^n$, а значит и $co X;$ если же таких точек нет, то все $X$ лежит в какой-то гиперплоскости в $\mathbb{R}^n,$ но тогда и $co X$ лежит в этой же гиперплоскости (размерности $n-1$) - применяем индукцию по размерности.

[Юстас]

Maxal, в задаче речь идёт о выпуклой комбинации. И ещё: что значит "аффинно-независимые точки"?

[RIP]

Вот док-во для первой части.
Рассмотрим

$$Y=\{y\in\mathbb{R}^n\mid\text{ найдутся } x_0,x_1,\ldots,x_n\in X \text{ и }p_0,p_1,\ldots,p_n\geqslant0,p_0+p_1+\ldots+p_n=1, \text{ такие, что }y=p_0x_0+\ldots+p_nx_n\}$$

Тогда $Y\subset coX$, поэтому надо доказать, что $Y$ выпукло. Для этого достаточно показать, что если $y=p_0x_0+p_1x_1+\ldots+p_{n+1}x_{n+1}$, то $y=p'_0x'_0+p'_1x'_1+\ldots+p'_{n}x'_{n}$, где $x'_0,x'_1,\ldots,x'_n\in\{x_0,x_1,\ldots,x_{n+1}\}$ (здесь рассматриваются выпуклые линейные комбинации).
Вектора $x_1-x_0,x_2-x_0,\ldots,x_{n+1}-x_0$ линейно зависимы, отсюда $a_0x_0+a_1x_1+\ldots+a_{n+1}x_{n+1}=0$ с $\max\{|a_0|,|a_1|,\ldots,|a_{n+1}|\}>0$ и $a_0+a_1+\ldots+a_{n+1}=0$. Среди индексов $j$, для которых $a_j\ne0$, выберем тот, для которого отношение $\frac{p_j}{|a_j|}$ минимально. Пусть для определенности это $n+1$.
Тогда $y=p_0x_0+p_1x_1+\ldots+p_{n+1}x_{n+1}-\frac{p_{n+1}}{a_{n+1}}(a_0x_0+a_1x_1+\ldots+a_{n+1}x_{n+1})$

Добавлено спустя 21 минуту 55 секунд:

А вот и вторая часть. Пусть $y_l\in coX$. По доказанному,

$$y_l=\sum_{k=0}^np^{(l)}_kx^{(l)}_k.$$

Ввиду компактности, можно выбрать подпоследовательность $l_m$ такую, что $x^{(l_m)}_k\underset{m\to\infty}{\longrightarrow}x_k$ для каждого $k=0,1,\ldots,n$, и
$(p^{(l_m)}_0,p^{(l_m)}_1,\ldots,p^{(l_m)}_n)\underset{m\to\infty}{\longrightarrow}(p_0,p_1,\ldots,p_n).$
Тогда $y_{l_m}\to p_0x_0+\ldots+p_nx_n\in coX$

[Юстас]

RIP писал(а):

А вот и вторая часть. Пусть $y_l\in coX$. По доказанному,

$$y_l=\sum_{k=0}^np^{(l)}_kx^{(l)}_k.$$

Ввиду компактности, можно выбрать подпоследовательность $l_m$ такую, что $x^{(l_m)}_k\underset{m\to\infty}{\longrightarrow}x_k$ для каждого $k=0,1,\ldots,n$, и
$(p^{(l_m)}_0,p^{(l_m)}_1,\ldots,p^{(l_m)}_n)\underset{m\to\infty}{\longrightarrow}(p_0,p_1,\ldots,p_n).$
Тогда $y_{l_m}\to p_0x_0+\ldots+p_nx_n\in coX$

Насколько я понял, Вы использовали критерий, что множество в $R^n$ компактно тогда и только тогда когда из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность?
Можно поступить еще так: пусть $\omega=\left\{ \mu\in R^{n+1}|\mu_i\ge0,\ \sum\mu_i=1 \right\}$. Тогда $F:\omega \times X^{n+1}\rightarrow R^n, \ F(\mu,x_1,\dots,x_{n+1})=\mu_1 x_1+\dots+\mu_{n+1}x_{n+1}$ непрерывно и по доказанному $F(\omega\times X^{n+1})=co\ X$, поэтому $co\ X$ компактно как образ компактного множества.

[RIP]

Юстас писал(а):

Насколько я понял, Вы использовали критерий, что множество в $R^n$ компактно тогда и только тогда когда из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность?

Почти. Только Вы привели критерий предкомпактности.

Юстас писал(а):

Просьба ссылки на готовые решения не выкладывать.

Скоро каждая задача будет заканчиваться этими словами.

[maxal]

Афинной комбинацией обычно называют линейную комбинацию, в которой сумма коэффициентов равна 1.
Соответственно, афинная независимость набора точек - это отсутствие их афинной комбинации равной нулю.

См. http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_combination

Добавлено спустя 7 минут 32 секунды:

Кстати, выпуклая комбинация является частным случаем афинной - с дополнительным требованием, чтобы все коэффициенты были неотрицательны.