XXXIX Екатеринбургская городская олимпиада, 1998-1999.

[DjD USB]

Задача 1: Пусть $a, b , c$ — целые неотрицательные числа такие, что $28a+30b+31c = 365$ .Найдите все значения, которые может принимать сумма $a + b + c$ .
Задача 3: Из квадрата 5 × 5 вырезали центральную клетку. Как разрезать получившуюся плоскую фигуру на 2 части, которыми целиком можно обклеить куб 2 × 2 × 2?
Задача 4: Числа $x, y , z$ удовлетворяют равенству $x + y + z - 2(xy + yz + zx) = $½ - $4xyz$ . Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

[myra_panama]

(Задача 4)

$x + y + z - 2(xy + yz + xz) + 4xyz-\frac12 =\frac12(2x-1)(2y-1)(2z-1)$

[nnosipov]

В 1-й задаче ответ такой, который напрашивается, но само уравнение имеет много (более одного) решений. В 4-й задаче надо искать разложение на множители выражения $x + y + z - 2(xy + yz + zx)-1/2+4xyz$, что нетрудно, поскольку это выражение линейно по каждой из переменных.

[myra_panama]

DjD USB в сообщении #473062 писал(а):

Задача 1: Пусть $a, b , c$ — целые неотрицательные числа такие, что $28a+30b+31c = 365$ .Найдите все значения, которые может принимать сумма $a + b + c$ .

По моему единственное значение сумма a+b+c будет 12. А как это доказывать..

-- Ср авг 03, 2011 09:39:04 --

(Одно решение)

a=2,b=1,c=9

[Евгений Машеров]

Задача 1

(Оффтоп)

Очевидно, так как 365/28=13.0357(142857), сумма не может быть больше 13 (даже если b и c равны нулю - перебор). А так как 365/31=11.(774193548387096), сумма не может быть меньше 12.
Решения с суммой 12 существуют и легко находится. Если бы a и b были бы равны нулю, то c=12 и сумма равна 372, то есть избыток 7. Устраняем его, уменьшая с и соответственно увеличивая a (тогда избыток уменьшается на 3 на каждую единицу изменения) и b (тогда избыток уменьшается на 1 на единицу изменения). То есть нам надо представить 7 суммой нескольких двоек и троек.
7=3+3+1
Иначе говоря, a=2, b=1, c=9
7=3+1+1+1+1
Иначе говоря, a=1, b=4, c=7
7=1+1+1+1+1+1+1
Иначе говоря, a=0, b=7, c=5
Иных решений с суммой 12 нет.

Для суммы a+b+c тринадцать решений нет.
Для a=13, b=0, c=0 величина $28a+30b+31c=364$
При этом, изменяя a и b, изменим эту величину на кратное 2, а a и c - на кратное 3. На единицу изменить не получится...

[myra_panama]

(Дополнение к зад 1)

Если $a + b + c \le 11$ ,то $28a + 30b + 31c \le 11\cdot31 = 341$ - противоречие. Если $a + b + c \ge 13$ ,тогда $28a + 30b + 31c \ge 13 \cdot 28 = 364$, причём равенство достигается только при $a = 13, b = c = 0$. Во всех остальных случаях $28a + 30b + 31c \ge366$ - Противоречие.

[DjD USB]

myra_panama решил коротко и предельно ясно спасибо

-- Ср авг 03, 2011 14:37:13 --

Обе задачи, мерси

[Батороев]

Задача 3. Уже обклеивали.

[DjD USB]

myra_panama но скажите как Вы до етого дошли в 4 задаче, как????

[myra_panama]

DjD USB в сообщении #473203 писал(а):

myra_panama но скажите как Вы до етого дошли в 4 задаче, как????

Не понял, но кстати у вас было так:

DjD USB в сообщении #473062 писал(а):

Задача 4: Числа $x, y , z$ удовлетворяют равенству $x + y + z - 2(xy + yz + zx) = $½ - $4xyz$ . Докажите, что хотя бы одно из них равно ½

не так ли ? Или я не понял вас..