аппроксимация полиномами (функция Рунге и другие)

[eiyawii]

День добрый!
Предположим что дана функция Рунге $y=1/(1+25 x^2)$ и она ограничена. Подскажите где можно посмотреть/прочитать/изучить как аппроксимировать её(и не только её) полиномами. Спасибо.


upd в википедии есть статья по поводу аппроксимации этой функции. Мне необходимо знать механизм как это сделать, как получить полином, которым можно аппроксимировать эту функцию (другие функции).

[Azog]

Книжку Бахвалов Жидков Кобельков посмотрите. Вот эту: http://lib.mexmat.ru/books/780
Там довольно много про аппроксимации написано.

[eiyawii]

спасибо за наводку, посмотрю обязательно

[Евгений Машеров]

0. Функция Рунге это пример функции, которую очень плохо приближать полиномами (на отрезке -1;1, как сам Рунге показывал). По мере увеличения степени полинома она между точками интерполяции начинает шалить. Вместо гладкого и ровного поведения начинаются колебания и выбросы.
Если кратко - это связано с тем, что на комплексной плоскости функция имеет полюс очень близко к данному отрезку.
1. Обычная техника интерполяции состоит в том, что мы выбираем точки, вычисляем в них функцию, а затем находим полином такой, что в выбранных точках его значения совпадают со значениями функции. Вариантов такого находения предложено много. Можно представить в виде взвешенной суммы полиномов выбранной степени таких, что во всех точках, кроме выбранной, они равны нулю, а в выбранной единице (Лагранж), можно заметить, что n-ные разности у полинома n-ной степени равны константе, посчитать разности вычисленных значений функции и исходя из них получить полином, предлагались и другие подходы.
2. Если данные получены в эксперименте, то требование точного прохождения несколько неестественно, и лучше требовать приближённого равенства (если качество приближения равно сумме квадратов отклонений измеренных от вычисленных значений - это метод наименьших квадратов, МНК, есть и другие критерии).

[Sender]

Можно интерполировать по чебышёвским узлам, тогда всё хорошо сходится.

[мат-ламер]

Sender в сообщении #474089 писал(а):

Можно интерполировать по чебышёвским узлам, тогда всё хорошо сходится.

А если не интерполировать, а аппроксимировать (как в первом посту спрашивали), то будет сходиться ещё лучше. Задача аппроксимации - это геометрическая задача о проекции вектора на конечномерное подпространство, и рассматривается в учебниках линейной алгебры. Но лучше не глядя в учебники попробовать самому что-то вывести.

[Droog_Andrey]

На практике, если $f(x)$ на некотором отрезке плохо аппроксимируется полиномами, пробуют аппроксимировать полиномами $1/(f(x)+c)$. Зачастую срабатывает даже простейший случай $c=0$.

[eiyawii]

при интерполяции полиномами Лагранжа, ближе к разрывам функции, интерполянт начинает нехило колебаться, причем чем больше я узлов беру для интерполяции (соответственно степень полинома Лагранжа растет), тем больше интерполянт отклоняется от функции Рунге.

Выше написано, что это связано с тем, что функция Рунге имеет полюс очень близко к данному открезку - не могли бы Вы пояснить это? или указать где это написано/объяснено?

[eiyawii]

и еще такой вопрос: как выглядит полином Лагранжа?

у меня при построении получается так (100 узлов взял):