Красивое уравнение с дробной частью

[Xenia1996]

$\{(x+1)^3\}=x^3$
Решить в вещественных числах, не пользуясь вычислительной техникой.
({} - дробная часть числа)

[nnosipov]

Начало, как мне кажется, должно быть таким: раз слева дробная часть, то число справа $\in [0;1)$, а значит, и $x \in [0;1)$. Ну а дальше рассмотреть несколько случаев в зависимости от значения целой части числа $(x+1)^3$. Решать при этом нужно будет только квадратные уравнения и неравенства, а это вполне можно сделать и без калькулятора, так как коэффициенты будут небольшими.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #472845 писал(а):

Начало, как мне кажется, должно быть таким: раз слева дробная часть, то число справа $\in [0;1)$, а значит, и $x \in [0;1)$. Ну а дальше рассмотреть несколько случаев в зависимости от значения целой части числа $(x+1)^3$. Решать при этом нужно будет только квадратные уравнения и неравенства, а это вполне можно сделать и без калькулятора, так как коэффициенты будут небольшими.

Начало у Вас неплохое, а вот дальше...есть более короткий путь.

[nnosipov]

Возможно, нарисовать параболу $y=3x^2+3x+1$ на интервале $[0;1)$ и заметить, что целые значения $y \in \{1,2,\dots,6\}$. Ну, а тогда $x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3+12y}}{6}$ при указанных $y$ даёт все решения.

[Евгений Машеров]

$\{(x+1)^3\}=(x+1)^3-n=x^3$
n целое, могущее принимать значения от 1 до 7.
Приходим к уравнению $3x^2+3x+1-n=0$
и для каждого n положительный его корень есть решение.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #472855 писал(а):

Возможно, нарисовать параболу $y=3x^2+3x+1$ на интервале $[0;1)$ и заметить, что целые значения $y \in \{1,2,\dots,6\}$. Ну, а тогда $x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3+12y}}{6}$ при указанных $y$ даёт все решения.

Оно самое
Только игрек будет не с 1 по 6, а с 0 по 5.

-- Вт авг 02, 2011 16:53:53 --

Евгений Машеров в сообщении #472861 писал(а):

$\{(x+1)^3\}=(x+1)^3-n=x^3$
n целое, могущее принимать значения от 1 до 7.
Приходим к уравнению $3x^2+3x+1-n=0$
и для каждого n положительный его корень есть решение.

Только не до 7, а до 6

[Евгений Машеров]

Да, сорри, до 6.

0
0.018350154
0.095711846
0.236067977
0.436046725
0.691832828

[Xenia1996]

Евгений Машеров в сообщении #472868 писал(а):

Да, сорри, до 6.

0
0.018350154
0.095711846
0.236067977
0.436046725
0.691832828

Это у Вас значения кубов...

[Евгений Машеров]

И опять же соглашусь...