доказательство свойств модуля.

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые участники форума!
вот собрала свое доказательство воедино...
если тут что-то не так скажите, пожалуйста, об этом!
Свойство 1.
$|a + b| \leqslant |a| + |b|$
Доказательство.
Известно что
$-|a|\leqslant a\leqslant |a|$
И
$-|b|\leqslant b\leqslant |b|$
Сложив эти неравенства получим:
$-|a| -|b|\leqslant a + b\leqslant |a| + |b|$
Рассмотрим два случая:
1. $a + b < 0$
Тогда
$-|a| -|b| = a + b$
И
$|-|a| -|b| = |a + b|$
Так как модули равных величин равны.
Из
$-|a| -|b|\leqslant a + b\leqslant |a| + |b|$
Подставив
$|a + b|$ вместо
$a + b$
(из выше преведенного равенства) получим:
$|a + b|\leqslant |a| + |b|$
2. $a + b\geqslant 0$
Тогда
$a + b =|a + b|$
И из неравенства
$-|a| -|b|\leqslant a + b\leqslant |a| + |b|$
Следует
$|a + b|\leqslant |a| + |b|$
Объединяя оба случая, получим что
$|a + b|\leqslant |a| + |b|$
при любом числе $a + b$
заранее спасибо!
с уважением,
sandrachka.

[arqady]

(Оффтоп)

Когда сюда заходил, то думал речь идёт об алгебраических модулях (как векторные пространства, только не обязательно над полем). И вдруг понял, что не знаю, почему он называется модулем. В нете поискал - ничего не нашёл. Может, кто знает, откуда взялись эти странные названия: модуль, кольцо, поле, тело, груда и т.п. Ссылочку бы... Спасибо!

[Gortaur]

arqady

(Оффтоп)

Вероятность, что кто-нибудь теперь сюда набредет дать ответ на Ваш вопрос мала задайте его в отдельной теме лучше.

sandrachka
Первое, если $a+b<0$ то $-|a|-|b| = a+b$. Неверно. Как подобрать пример? Если $a,b$ одного знака то ясно, что равенство выполняется, значит для контрпримера надо взять $a,b$ разных знаков, но чтобы сумма была отрицательна. Если у нас $a=1,b=-2$, то $-|1|-|-2| = -3$, но $1+(-2)=-1$ и равенство нарушается.

Я не знаю, как у Вас определяли модуль, но скорее всего, так $|x| = \max(x,-x)$. Тогда доказательство делается так:

$$ |a+b| = \max(a+b,-a-b)\leq \max(|a|+|b|,-a-b) $$

где неравенство выполняется из-за того, что $a\leq |a|$ и $b\leq |b|$. Придумаете, как оценить $-a-b$ через $|a|+|b|$?

[sandrachka]

модулем числа $a$ называется само это число если $a\geqslant 0$ и число $-a$ если $a < 0$
вот что я могу сказать вам касаемо определения модуля.

[Gortaur]

sandrachka
Если доказывать в лоб, то там 6 ситуаций в зависимости от знаков $a,b,a+b$. Лучше сделать так: из Вашего определения модуля видно, что $|a| = \max(a,-a)$. После этого - сделайте те переходы, о которых я писал.