Пусть

. Тогда задача формулируется следующим образом: Надо взять

книг из имеющихся

книг, так чтобы никакие две книги не стояли рядом. Но данная задача эквивалентна следующей: Сколько существует последовательностей длины

, где

единиц и

нулей, где единицы не должны стоять рядом.
Решаем это таким образом. Выпишем

нулей. Для единиц получается ровно

мест, одно место впереди и

мест в промежутках между нулями. По условию задачи последний элемент в последовательности всегда должен быть нулем. И нам нужно определить сколькими способами можно выбрать

позиций из

, а это быть сделано

способами.
Пусть теперь

. Теперь задача формулируется так: Надо взять

книг из имеющихся

книг, так чтобы между любыми соседними книгами было не менее 2 книг. Но данная задача эквивалентна следующей: Сколько существует последовательностей длины

, где

единиц и

нулей, где между любыми соседними книгами должно быть не менее двух нулей. Хотелось бы это тоже разобрать как и для случая

, но я что-то не догадываюсь как расставить нули и получить ответ

.
Объясните пожалуйста кто-нибудь как расставить нули для случая

и если можно для случая

.