Немного геометрии

[yestlmush]

а) Докажите, что любой выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, можно поместить в треугольник, образованный продолжениями его сторон.

б) $A$ и $B$ --- диаметрально противоположные точки окружности, касающейся обеих сторон угла с вершиной $O$. Касательная в точке $B$ пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$, а прямую $OA$ в точке $E$. Докажите, что $BC = DE$.

в) Докажите, что из медиан любого треугольника можно сложить другой треугольник.

г) Докажите, что выпуклый четырехугольник, сумма перпендикуляров на стороны которого из точки внутри него не зависит от выбора этой точки - параллелограмм.

Несмотря на простоту, у меня вызывали затруднения именно пункты в) и г) :)

[alcoholist]

yestlmush в сообщении #472498 писал(а):

в) Докажите, что из медиан любого треугольника можно сложить другой треугольник.

самая длинная медиана -- к самой короткой стороне

[ewert]

yestlmush в сообщении #472498 писал(а):

у меня вызывали затруднения именно пункты в) и г) :)

в). Треугольник из медиан складывается явным образом -- их параллельным перемещением друг относительно друга. Впрочем, проще всего этот факт обосновать с помощью векторной алгебры.

г). В равнобедренном треугольнике $MAN$ с основанием $MN$ и высотой $h$ сумма расстояний от точек на основании до боковых сторон постоянна и равна $2h\sin\frac{A}{2}$. Поэтому если для четырёхугольника $ABCD$ провести прямую, образующую равнобедренный треугольник со сторонами $AB$ и $AD$ (точнее, с их продолжениями), то она должна образовывать равнобедренный треугольник и с противоположными сторонами $CB$ и $CD$. Другими словами, биссектрисы углов $A$ и $C$ должны быть параллельны. Но тогда и сами противоположные углы должны быть одинаковы -- иначе при движении вдоль линии, параллельной биссектрисам суммы расстояний до одной пары сторон и до другой меняются с разной скоростью (т.к. они пропорциональны синусам половинных углов).

[nnosipov]

yestlmush в сообщении #472498 писал(а):

г) Докажите, что выпуклый четырехугольник, сумма перпендикуляров на стороны которого из точки внутри него не зависит от выбора этой точки - параллелограмм.

Здесь возможно решение, использующее формулы из аналитической геометрии (для студентов-первокурсников вполне сгодится). Именно, используется формула расстояния от точки $(x_0,y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$:

$$ d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. $$

Пусть стороны четырёхугольника задаются уравнениями $a_ix+b_iy+c_i=0$, причём векторы $e_i=(a_i,b_i)$ можно считать единичными. Опираясь на формулу $(*)$, из условия нетрудно вывести, что

$$ \sum_{i=1}^4 \pm e_i=0 $$

при некотором выборе знаков. Теперь осталось выяснить, когда сумма 4-х единичных векторов может быть нулевой. Ответ довольно очевиден: эти 4-е вектора должны разбиваться на пары взаимно противоположных. Отсюда и следует утверждение о том, что исходный четырёхугольник --- параллелограмм.

[TOTAL]

yestlmush в сообщении #472498 писал(а):

г) Докажите, что выпуклый четырехугольник, сумма перпендикуляров на стороны которого из точки внутри него не зависит от выбора этой точки - параллелограмм.

При параллельном переносе любой из сторон свойство постоянства суммы расстояний сохраняется, поэтому считаем 4-угольник описанным. Две наименьшие стороны у него примыкают к одной вершине, для которой сумма расстояний такая же, как и для противоположной вершины, только если все стороны равны, а противоположные стороны параллельны.

[arqady]

А что должно быть с выпуклым многогранником такого, что суммы расстояний от всех его точек до плоскостей граней равны?