Модель обратная распределению тепла

[Gortaur]

Есть некая область, допустим квадрат $[-1,1]^2$. Если мы зададим начальное распределение тепла, то уравнение теплопроводности покажет нам, что с течением времени тепло распределится по всей области (при отсутствии внешнего вмешательства). Я думаю об обратном процессе.

Мы помещаем, скажем, частицы такие, что они движутся хаотически, но встретившись, остаются вместе. Таким образом они собираются в группы и чем больше группа, тем более должна быть по идее вероятность ее увеличения. Словом, процесс получается противоположный и думаю его представить в виде

$$ u_t = -u_{xx} $$

с начальными условиями (что может вызвать у Вас поток протестов, понимаю).

Мне все же кажется, что поведение это уравнение может описать неплохо - но может, Вы посоветуете что-то лучшее?

[ИСН]

Вы напоретесь на режимы с обострениями и катастрофами, а кроме этого всё прекрасно.

[Gortaur]

ИСН
Мне-то надо смоделировать лишь до получения определенного пика в плотности. Скажем, мне интересна зависимость $\tau(E,u_0)$ - времени, когда решение уравнения с данными начальными условиями превосходит $E>0$. Неужели катастрофа произойдет раньше?

[Munin]

ИСН в сообщении #472030 писал(а):

Вы напоретесь на режимы с обострениями и катастрофами, а кроме этого всё прекрасно.

А мне казалось, такую задачу вообще нельзя корректно поставить... Разьясните этот моментик, пожалуйста.

[Vince Diesel]

Решения однородного уравнения теплопроыводности при фиксированном $t$ являются аналитическими функциями по $x$. Соответствено, необходимым условием разрешимости начально-краевой для обратного уравнения теплопроводности является аналитичность начальной функции. И решенbе может существовать сколь угодно мало по времени.

Gortaur в сообщении #472031 писал(а):

Неужели катастрофа произойдет раньше?

Возьмем какую-нибудь негладкую начальную функцию $\psi$, меньшую единицы и сколь-угодно малое значение $t>0$. Обозначим через $u$ решение задачи Коши уравнения теплопроводности с $\psi$. Тогда решение задачи Коши для обратного кравнения с начальной функцией $u(\cdot,t)$ будет существовать только время $t$ и это решение нигде не будет больше единицы.

[Munin]

А формулируются ли условия на время существования решения, если неизвестно, является ли данная начальная функция решением задачи Коши для прямого уравнения?

[Vince Diesel]

Не знаю, какие есть результаты, но навскидку получается следующеее. Решение прямой задачи Коши можно получать так. Возьмем преобразование Фурье $\tilde \psi(\xi)$ начальной функции $\psi(x)$, умножим на $e^{-|\xi|^2t}$ (преобразование Фурье от фундаментального решения уравнения теплопроводности) и сделаем обратное преобразрование Фурье. Это и будет ответ. Умножение $\tilde \psi$ на быстроубывающую функцию ведет к тому, что амплитуда спектральной характеристики решения при $t>0$ быстро убывает. А это означает гладкость оригинала. Для обратного уравнения теплопроводности тот же алгоритм дает умножение на $e^{|\xi|^2t}$, что ухудшает гладкостные свойства решения. Так что если для некоторых $c_1,c_2>0$ имеет место оценка $|\tilde\psi(\xi)|\le c_1 e^{c_2|\xi|^2}$, то решение существует при $t<c_2$ (посокльку результат экспоненциально убывает, а преобразование Фурье от него гладкая функция). Оценка на время существования решения в этом достаточном условии точная.

В частности, если $\psi$ является целой функцией конечного порядка $a>0$ (т.е. $\mathrm{supp}\; \psi\in\{|\xi|\le a\}$, то решение существует для любого $t>0$. Для этого достаточно также, чтобы $\tilde\psi$ убывало существенно быстрее $e^{-c|\xi|^2}$ для любого $c>0$. Как $e^{-|\xi|^4}$, например.

То же самое рассуждение годится и для ограничной области. Если $\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)$ - разложение по собственным функциям (с с.з. $\lambda_n$) соответствующей эллиптической задачи, то решение однородной краевой задачи для уравнения теплопроводности мимеет вид $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)e^{-\lambda_n^2 t}$. Для обратной задачи можно аналогично написать формальное решение $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi(x)e^{\lambda_n^2 t}$. Так что если $|a_n|\le c_1 e^{-c_2 \lambda_n^2}$, то решение существует при $t<c_2$, поскольку ряд будет сходиться для таких $t$.

[ewert]

Ну да, да. Но я бы обратил внимание на другое: на то, что практически это означает, что предложенная обратная задача нерешабельна с практической точки зрения абсолютно.

Ибо практически начальные условия заданы нам всегда с некоторой погрешностью. Которая, разумеется, никакой аналитичностью не описывается (с какой стати-то?...). Тем более настолько хорошей, чтобы погасить достаточно безумный рост собственных чисел. Следовательно, обратная задача и вполне бессмысленна. Как минимум практически.

Что, собственно, и делает второе начало термодинамики ну как минимум очевидным.

[Munin]

Vince Diesel
Спасибо, очень проясняет! Правда, навскидку непонятно, почему в условии $|\tilde\psi(\xi)|\le c_1 e^{c_2|\xi|^2}$ нет минуса в показателе, но это не принципиально.

ewert в сообщении #472090 писал(а):

Ибо практически начальные условия заданы нам всегда с некоторой погрешностью. Которая, разумеется, никакой аналитичностью не описывается (с какой стати-то?...).

Как раз наоборот, имея начальные условия с погрешностью, можно в рамках погрешности выбрать достаточно хорошую аппроксимацию, которая позволит некоторое время держаться на плаву (если я правильно понял Vince Diesel). Разумеется, это требует более искусного подхода, чем в лоб.

[Vince Diesel]

ewert в сообщении #472090 писал(а):

Что, собственно, и делает второе начало термодинамики ну как минимум очевидным.

А каким образом оно здесь формулируется и почему очевидно?

Munin в сообщении #472109 писал(а):

Правда, навскидку непонятно, почему в условии нет минуса в показателе

Опечатка

Munin в сообщении #472109 писал(а):

Как раз наоборот, имея начальные условия с погрешностью, можно в рамках погрешности выбрать достаточно хорошую аппроксимацию, которая позволит некоторое время держаться на плаву (если я правильно понял Vince Diesel).

В принципе, да. В случае ограниченной области аналогом целых функций конечной степени будут функции $\psi$, представимые в виде конечной линейной комбинаци с.ф. $\varphi_n$. Тогда решение существует для любого $t$. Только решение будет быстро расти по $t$ и малое отклонение в начальных данных со временем приводит к большим отклонениям.
Есть методы решения некорректных задач (регуляризация по Тихонову, приближенное решение интегральных уравнений первого рода), в том числе и задач для уравнения теплопроводности с обратным временем.

[Munin]

А что такое некорректные задачи вообще?

[Gortaur]

Munin в сообщении #472047 писал(а):

А мне казалось, такую задачу вообще нельзя корректно поставить... Разьясните этот моментик, пожалуйста.

Вы как будто знаете, какие задачи некорректны, нет?

-- Сб июл 30, 2011 22:55:09 --

Спасибо за комментарии.

1. насчет практической ценности может оказаться, что неустойчивость - это то, что надо. Модель заключается в том, что есть множество частиц распределенных в объеме, которые склеиваются при столкновении и следовательно собираются в кластеры со временем. Меня-то как раз беспокоило, что УЧП будет давать слишком детерминистский ответ в то время, как эмпирический вывод говорит о случайном формировании кластеров. Таким образом, чувствительность к начальным условиям может быть полезна.

Я нашел несколько моделей образования кластеров, но они были из биологии популяций и там предполагалось, что кластеры образуются из-за того, что рождение новых индивидов происходит рядом с родителями. В итоге для функции корреляции было уравнение теплопроводности с $\delta$-функией в виде свободного члена, а именно

$$ u_t = \alpha \Delta u+\beta \delta(x). $$

Здесь уравнение-то прямое, но так как в модели, о которой я говорю, причина образования кластеров другая, то обратное уравнение теплопроводности - первое, что пришло в голову, т.к. поведение немного похоже на то, что я хотел. Собственно, мой второй вопрос был в том, есть ли какие другие идеи для описания плотности распределения частиц в таком процессе?

2. Насколько я понимаю из постов Vince Diesel, решение уравнения будет до тех пор, пока $u$ ведет себя хорошо. Я буду моделировать плотность распределения, так что будет производится некоторая нормировка для постоянства интеграла. Возможно это и приведет к тому, что решение будет расти до порога, который мне необходим.

Vince Diesel А что Вы посоветуете посмотреть по методам решения таких задач?

[Vince Diesel]

Есть стандартное определение корректной задачи по Адамару. Единственность здесь вроде есть, а вот непрерывной зависимости от начальных данных нет.

[Munin]

Vince Diesel
И снова спасибо!

[Vince Diesel]

Насчет кластеров, мне кажется, что это прямая задача. Какое уравнение вопрос отдельный. Но это прямая эволюция. Вот восстановление по кластерам начального распределения частиц, это была бы обратная задача. А что касается определенности решений, так это совсем не то же самое, что определенность траекторий. Для винеровского процесса плотность вероятности в момент времени $t$ вполне однозначно определяется начальным распределением, но траектории то нет.