Связь нормы и скалярного произведения

[ellipse]

В нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение согласованное с нормой тогда и только тогда, когда для любых $x,\ y$ выполняется равенство ${\lVert x+y \rVert}^2 + {\lVert x-y \rVert}^2 = 2{\lVert x \rVert}^2 + 2{\lVert y \rVert}^2$.
В этом случае скалярное произведение полагают равным $(x,y)=\frac{1}{4}({\lVert x+y \rVert}^2 - {\lVert x-y \rVert}^2).$. Затем доказывается, что введенная таким образом функция $(x,y)$ удовлетворяет аксиомам скалярного произведения.
Можно ли чисто алгебраически доказать, что $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$, а не через последовательное доказательство равенства для целых, рациональных, затем по непрерывности и вещественных чисел $\lambda$? Если нет, то как найти контрпример?

[ewert]

ellipse в сообщении #471949 писал(а):

Если нет, то как найти контрпример?

Контрпример можно привести утверждению. Но что такое контрпример способу доказательства?...

ellipse в сообщении #471949 писал(а):

В этом случае скалярное произведение полагают равным $(x,y)=\frac{1}{4}({\lVert x+y \rVert}^2 - {\lVert x-y \rVert}^2).$.

Это в вещественном пространстве. В комплексном -- чуть сложнее.

[ellipse]

ewert в сообщении #471955 писал(а):

Но что такое контрпример способу доказательства?...

Я имел ввиду пример, показывающий, что необходима непрерывность нормы.

Можно сформулировать исходную задачу в более общем виде:
Доказать, что, если функция $f:V->R$ удовлетворяет функциональным уравнениям:
$f(\lambda x)=\lambda f(x)$;
$(f(x+y))^2 + (f(x-y))^2 = 2(f(x))^2 + 2(f(y))^2$,
тогда функция $g(x,y)=\frac{1}{4}((f(x+y))^2 - (f(x-y))^2)$ удовлетворяет уравнению $g(\lambda x,y) = \lambda g(x,y)$.
Нужно найти функцию $f$ , которая не является непрерывной, для которой это утверждение неверно.

[alcoholist]

Найдите не непрерывное отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющее равенству $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

-- Пт июл 29, 2011 17:26:32 --

ellipse в сообщении #471964 писал(а):

Я имел ввиду пример, показывающий, что необходима непрерывность нормы

норма непрерывна сама по себе