Сколько независимых компонент у тензора?

[Утундрий]

Сколько независимых компонент у тензора $\[c_{\alpha \beta \gamma } = a_{\alpha \beta } b_\gamma - a_{\alpha \gamma } b_\beta\]$, если $\[a_{\alpha \beta } = a_{\beta \alpha } \]$ и $\[1 \leqslant \alpha ,\beta ,\gamma ... \leqslant n\]$.

Насколько хватило терпения проверить, вроде бы $\[\frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)}}{3}\]$, что получается если из $\[n\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\]$ вычесть $\[\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}\]$.

Вопрос только, как показать, что на этот $\[c_{\alpha \beta \gamma } \]$ наложено одно лишь условие $\[c_{\alpha \beta \gamma } + c_{\gamma \alpha \beta } + c_{\beta \gamma \alpha } = 0\]$ ?

[Padawan]

А сколько независимых компонент у $c_{ij}=a_ib_j$ ($a_i,b_j$ -- произвольные) ?

[Утундрий]

Padawan
$n^2$?

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #469681 писал(а):

Сколько независимых компонент у тензора $\[c_{\alpha \beta \gamma } = a_{\alpha \beta } b_\gamma - a_{\alpha \gamma } b_\beta\]$, если $\[a_{\alpha \beta } = a_{\beta \alpha } \]$ и $\[1 \leqslant \alpha ,\beta ,\gamma ... \leqslant n\]$.

Насколько хватило терпения проверить, вроде бы $\[\frac{{n\left( {n^2 - 1} \right)}}{3}\]$, что получается если из $\[n\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\]$ вычесть $\[\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}\]$.

Вопрос только, как показать, что на этот $\[c_{\alpha \beta \gamma } \]$ наложено одно лишь условие $\[c_{\alpha \beta \gamma } + c_{\gamma \alpha \beta } + c_{\beta \gamma \alpha } = 0\]$ ?

$c_{\alpha \beta \gamma }=-c_{\alpha \gamma \beta}$

[Утундрий]

Oleg Zubelevich
учтено в $\[n\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\]$

Padawan
Оно, конешно, $\[n^2 \ne 2n\]$, но в том-то и вопрос. Что-то никак не соображу, какой тут естественный формализм всех ентих делов? Теория групп какая-нибудь?

[Padawan]

Утундрий
У $c_{ij}=a_ib_j$ имеется $2n-1$ независимых компонент. Число независимых компонент я определяю как размерность многообразия тензоров указанного вида в пространстве всех тензоров данной размерности. Для этого надо запараметризовать это многообразие, и найти ранг матрицы Якоби параметризующего отображения. Там такая проблема возникает: определить число линейно-независимых тензоров, среди данной совокупности тензоров.
Конкретно, в Вашем примере рассмотрим отображение $\mathbb R^{n^2+n}\to \mathbb R^{n^3}$, задаваемое формулой $c_{ijk}=(d_{ij}+d_{ji})b_k-(d_{ik}+d_{ki})b_j$. Здесь $d_{ij}$ и $b_k$ -- независимые переменные, $i,j,k=1,\ldots,n$. Считаем производные $c_{ijk}$ по независимым переменным -- это строчки матрицы Якоби.

$$\frac{ \partial c_{ijk}}{\partial d_{pq}}=(\delta^p_i\delta^q_j+\delta^p_j\delta^q_i)b_k-(\delta^p_i\delta^q_k+\delta^p_k\delta^q_i)b_j\, \ \ \ p,q=1,\ldots, n$$

$$ \frac{ \partial c_{ijk}}{\partial b_s}=(d_{ij}+d_{ji})\delta^s_k-(d_{ik}+d_{ki})\delta^s_j, \ \ \ \ s=1,\ldots, n $$

Всего $n^2+n$ тензоров. Надо определить, сколько среди них линейно-независимых. Можно перейти к системе линейных уравнений $D_{pq}\frac{ \partial c_{ijk}}{\partial d_{pq}}+B_s\frac{ \partial c_{ijk}}{\partial b_s}=0$ относительно переменных $D_{pq}$, $B_s$ и попробовать определить, сколько среди них имеется независимых уравнений. Получается такая система

$$ (D_{ij}+D_{ji})b_k-(D_{ik}+D_{ki})b_j+(d_{ij}+d_{ji})B_k-(d_{ik}+d_{ki})B_j=0, \ \ i,j,k=1,\ldots,n $$

Надо как-то её решить.

-- Пт июл 29, 2011 16:05:00 --

Обозначим $A_{ij}=D_{ij}+D_{ji}$. Получим систему $$A_{ij}b_k-A_{ik}b_j+(d_{ij}+d_{ji})B_k-(d_{ik}+d_{ki})B_j=0$. Делаем в ней циклическую перестановку индексов $i,j,k$. Получится три уравнения относительно шести переменных $A_{ij}$, $A_{ik}$, $A_{jk}$, $B_i$, $B_j$, $B_k$. Ранг этой системы у меня не хватило терпения посчитать.

[Утундрий]

Padawan
Миль паrдон. Я проделал все эти штуки-дрюки для диадика и получил всего лишь $2n$ компонент. Потому как детерминант там не нуль. Откуда взялась минус единичка?

[Munin]

Я тоже сначала получил $2n.$ Но потом вспомнил, что первый вектор можно умножить на коэффициент, а второй разделить на него же. Так что минус единичка правильная.

[Padawan]

Утундрий
Там получаются уравнения $A_ib_j+a_iB_j=0$. Всего $n^2$ уравнений относительно $2n$ неизвестных $A_i,B_j, i,j=1,\ldots,n$. Среди них базис образуют уравнения $A_1b_j+a_1B_j=0, j=1,\ldots,n$, $A_ib_1+a_iB_1=0$, $i=2,\ldots,n$, т.е. $2n-1$.

[Утундрий]

А как все это соотносится с наивным пониманием независимого числа компонент как такого минимального их числа, по которому вследствие симметрий восстанавливаются все остальные?

[Padawan]

Хорошо соотносится. Это минимальное число компонент как раз можно принять за координаты точки на многообразии. По ним точка, т.е. все компоненты тензора, однозначно восстанавливается. Например, в случае диадика за независимые компоненты можно взять $c_{11}=a_1b_1,\ldots, c_{1n}=a_1b_n, c_{21}=a_2b_1,\ldots,c_{n1}=a_n b_1$.

[Munin]

Утундрий в сообщении #473261 писал(а):

А как все это соотносится с наивным пониманием независимого числа компонент как такого минимального их числа, по которому вследствие симметрий восстанавливаются все остальные?

Не вследствие симметрий, а вследствие наложенных условий, а условия могут быть не только симметриями.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #472940 писал(а):

детерминант там не нуль

Всё-таки нуль. Ошибся поначалу, но мой быстропальцезагибательный железный друг меня конкретно поправил.

Интересный способ, спасибо. Будет чем заняться на выходные.

[Утундрий]

В лоб насчитал $\[f_1 = 0,f_2 = 2,f_3 = 7,f_4 = 12,f_5 = 19\]$. Последнее считалось настолько туго и укушало столько оперативки, что запускать $n=6$ желания не возникло. Ряд довольно хаотический: степени $n$ выше третей в аппроксимации совершенно не радуют. Либо посчитано неверно, либо не существует единой формулы для $\[f_n \]$ при всех $n$. Последнее вообще в принципе может быть?

[Vince Diesel]

A023669 выражается как-то, хоть явно там не написано.
Может, стоит еще следующий посчитать 2,7,12,19