Наибольшее произведение

[umarus]

Сумма n натуральных чисел равна 2011. Каковы должны быть эти числа, чтобы получить Наибольшее произведение всех этих чисел?

[maxal]

$n-(2011\bmod n)$ чисел $\left\lfloor\frac{2011}{n}\right\rfloor$ и $(2011\bmod n)$ чисел $\left\lceil\frac{2011}{n}\right\rceil$. Легко следует из неравенства: $x\cdot y \leq (x+1)(y-1)$ при $x+1\leq y-1$.

[Руст]

Эта задача здесь ранее обсуждалась. Правильный ответ: если $n=3k$ (делится на 3), то максимальное произведение равно $3^k$. Если $n=3k+1$, то $2*2*3^{k-1}$. Если $n=3k+2$, то $2*3^k$.

[ewert]

maxal в сообщении #471732 писал(а):

Легко следует из неравенства: $x\cdot y \leq (x+1)(y-1)$ при $x+1\leq y-1$.

Я бы сказал даже легче: просто потому, что при $x+y=\mathrm{const}$ максимум $x\cdot y$ достигается при $x=y$, т.е. в середине параболы. Поэтому все слагаемые и должны быть одинаковыми настолько, насколько это возможно, т.е. различаться не более чем на единицу.

[Руст]

Главное чему равны. Например 20 можно разделить на 4 по пять или на 10 по 2. Но это не дает максимума. Максимум когда слагаемые приближенно равны e. Но это не целое, поэтому оптимально по три с корректировкой остатка.

[umarus]

Спасибо всем!
Да. давненько не занимался олимпиадой (Старею, ех!)
Хотя где-то имел ответ число "е". Но подумал ерунда и не пошел дальше.

[covax]

Руст в сообщении #471750 писал(а):

Эта задача здесь ранее обсуждалась. Правильный ответ: если $n=3k$ (делится на 3), то максимальное произведение равно $3^k$. Если $n=3k+1$, то $2*2*3^{k-1}$. Если $n=3k+2$, то $2*3^k$.

Если $n = 3$, то максимальное произведение равно $3$? У вас другая задача или другое $n$ :)

[Руст]

Простите, я разбивал n на составные части с максимальным произведением. В исходной формулировке задача менее интересна и решена правильно maxal ом.