Integral

[man111]

$\displaystyle\int\sqrt{x+\sqrt{x^2+a^2}}dx$

[ewert]

$x=a\sh t$

[ShMaxG]

Случай $a=0$ рассмотреть отдельно.

Замена $x=a \sh t$, рассмотреть случаи $a>0$ и $a<0$ и заметить, что $\sh t + \ch t = e^t$ и $\ch t - \sh t = e^{-t}$.

Если в арифметике нигде не ошибся, то так:

При $a>0$:$ \[I\left( a \right) = a\sqrt a \left( {\frac{1}{3}{e^{\frac{3}{2}t}} - {e^{ - \frac{1}{2}t}}} \right)\]$.
При $a<0$:$\[I\left( a \right) = a\sqrt { - a} \left( {{e^{\frac{1}{2}t}} - \frac{1}{3}{e^{ - \frac{3}{2}t}}} \right)\]$.
(Где заместо $t$ остается $x=a \sh t$ подставить).
При $a=0$:$\[I\left( 0 \right) = \left\{ \begin{gathered} 0,x \leqslant 0 \hfill \\ \sqrt 2 \frac{2}{3}{x^{3/2}},x > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

[ewert]

ShMaxG в сообщении #471798 писал(а):

Случай $a=0$(Где заместо $t$ остается $x=a \sh t$ подставить).

И упростить, поскольку арксинус -- это логарифм.

Рассматривать отрицательные $a$ смысла нет.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #471801 писал(а):

И упростить, поскольку арксинус -- это логарифм.

Да, вот упростить я что-то поленился.

ewert в сообщении #471801 писал(а):

Рассматривать отрицательные $a$ смысла нет.

Согласен.

[man111]

thanks to all for nice discussion.

nice use of hyperbolic substution.

my solution.

$\mathbf{\int\sqrt{x+\sqrt{x^2+a^2}}\;dx}$

Let $\mathbf{\sqrt{x^2+a^2}+x=e^{2t}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=2e^{2t}dt}$

$\displaystyle \mathbf{\frac{e^{2t}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=2e^{2t}dt\Leftrightarrow dx=2.\sqrt{x^2+a^2}dt}$

Now $\mathbf{\sqrt{x^2+a^2}+x=e^{2t}..............................(1)}$

Multiply both side by $\mathbf{\sqrt{x^2+a^2}-x},\;$ We Get

$\mathbf{\left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right).\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)=e^{2t}.\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)}$

$\mathbf{\sqrt{x^2+a^2}+x=a^2.e^{-2t}.............................(2)}$

So Add equation...$\mathbf{(1)}$ and $\mathbf{(2)},\;$ we Get

$\displaystyle\mathbf{2\sqrt{x^2+a^2}=\left(e^{2t}+a^2.e^{-2t}\right)}$

Now $\mathbf{dx=2\sqrt{x^2+a^2}dt=\left(e^{2t}+a^2.e^{-2t}\right)dt}$

So $\displaystyle\mathbf{\int\sqrt{x+\sqrt{x^2+a^2}}\;dx=\int e^t.\left(e^{2t}+a^2.e^{-2t}\right)dt}$

$\displaystyle\mathbf{=\int e^{3t}dt+a^2.\int e^{-t}dt}$

$\displaystyle\mathbf{=\frac{1}{3}.e^{3t}-a^2.e^{-t}+C}$

$\displaystyle\mathbf{=\frac{1}{3}.\left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)^\frac{3}{2}-a^2.\left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)^\frac{-1}{2}+C}$