теорема Ли

[Oleg Zubelevich]

Пусть $B$ -- открытый шар пространства $\mathbb{R}^m$, все рассматриваемые ниже объекты $\in C^\infty(B)$ .

Рассмотрим систему

$$\dot x=w(x),\quad x\in B\quad (w)$$

. Предположим, что эта система имеет $m-1$ группу симметрий $g^t_i(x),\quad i=1,\ldots, m-1$ с векторными полями $u_i(x),\quad [u_i,w]=0$. Эти векторные поля линейно независимы во всех точках шара $B$ и удовлетворяют условиям

$$[u_i,u_j]=c^s_{ij}(x)u_s,\quad 1\le s\le i<j\le m-1.$$

Теорема. Система ($w$) интегрируется в квадратурах.

В каком отношении это утверждение находится с теоремой Ли?

[scwec]

На мой взгляд здесь рассмотрена замкнутая система векторных полей, специально наделенная теми свойствами разрешимых Алгебр Ли, которые необходимы для применения классического доказательства теоремы С.Ли об интегрируемости в квадратурах.
См. Л.П. Эйзенхарт "Непрерывные группы преобразований" 1947 стр. 165-166.

[Oleg Zubelevich]

Т.е. получается, что группа симметрий может быть бесконечномерной, и понятие разрешимости тоже не является ключевым в этой науке?

[scwec]

Приведу утверждение, которое может прояснить, что является важным.
Пусть в односвязной области $U\subset{R^n}$ заданы линейно-независимые поля $X_1,X_2,...,X_n$
Если для $\forall i,j=1,\ldots,n\quad [X_i,X_j]=\sum_{s=1}^kc_{ij}^s(x)X_s ,\quad k<n,$ то для полей
$X_1,\ldots,X_k$ в области $U$ находятся квадратурами $n-k$ функционально независимых первых интегралов.
Доказательство.
Рассмотрим формы $\omega^1,\ldots,\omega^n,\quad$ образующие базис, дуальный к $X_1,\ldots,X_n.$. Согласно формулам Маурера-Картана $d\omega^p=-\frac{1}{2}\sum_{ij}^p\omega^i\bigwedge\omega^j$.
Поскольку для $p=k+1, \ldots, n\quad c_{ij}^p=0$ по условию , то $d\omega^p=0$, и по теореме А.Пуанкаре $\exists$ гладкие функции $\varphi^{k+1},\ldots,\varphi^n$ такие, что $d\varphi^{k+1}=\omega^{k+1},\ldots,d\varphi^n=\omega^n$.
Поскольку $\omega^i(X_j)=\delta_j^i,$ то $X_j(\varphi^p)=0$ для $j=1,\ldots,k.$ Функциональная независимость $\varphi^p$ следует из линейной независимости форм $\omega^p$.
Это утверждение можно применить для доказательства теоремы из первоначального сообщения.
Возможно, Вы что-то другое имели в виду.
Но именно оно (не в этой форме) применяется при доказательстве теоремы С.Ли.

[Oleg Zubelevich]

Не так быстро Я не спицалист в этих вопросах и ничего не понял. Я привык думать, что формулы Маурера-Картана это про левоинвариантные формы на группе Ли, и там структурные константы фигурируют, а не функции от $x$. Где у нас тут группа Ли?

[scwec]

$X_1,...,X_n$ -векторные поля.
$[X_i,X_j]=\sum{c_{ij}^s(x)X_s}$
Определим формы $\omega^i$ такие.что $\omega^i(X_j)=\delta_j^i,$
Тогда $d\omega^p=-\frac{1}{2}\sum{c}_{ij}^p(x)\omega^i\bigwedge\omega^j$
У меня в формуле была пропущена буква $c$, потому подробно и объясняюсь.
Это и есть формулы Маурера-Картана, другого названия уних нет. А группа Ли отсутствует.
И утверждение формулировалось не для алгебры Ли, а для замкнутой системы полей.
В этом и поучительность утверждения.
В общем, хотите верьте, хотите нет.

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #471545 писал(а):

И утверждение формулировалось не для алгебры Ли, а для замкнутой системы полей.

...которая порождает натянутую на них подалгебру Ли алгебры $\Gamma(TM)$. Что касается формулы Маурера-Картана, то она вообще-то формулируется для левоинвариантных 1-форм на группе Ли. Приведите, пожалуйста, ее доказательство для вашего случая.

[scwec]

Насчет доказательства. Поля и формы выше уже определены.
Оно вытекает из трех пунктов.
1. Теорема Фробениуса для вполне интегрируемых дифференциальных систем в виде
$[X_i,X_j]=\sum{c_{ij}^{k}}{X_k}$
2. Та же теорема в виде $d\omega^{k}=\sum{a_{ij}^{k}}\omega^i\wedge\omega^j$
3. Инфинитезимальный аналог теоремы Стокса $d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])$
Из 1. и 3 : $d\omega^{k}(X_i,X_ j)=-c_{ij}^k$
Из 2.: $d\omega^{k}(X_i,X_ j)=2a_{ij}^k$
Вывод:$a_{ij}^{k}=-\frac{1}{2}c_{ij}^{k}$
Литература:С.Стернберг Лекции по дифференциальной геометрии.

[Oleg Zubelevich]

Понятно, спасибо. Только теорема Фробениуса тут по-моему ни при чём.

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #471602 писал(а):

2. Та же теорема в виде $d\omega^{k}=\sum{a_{ij}^{k}}\omega^i\wedge\omega^j$

Напомните формулировку теоремы Фробениуса, пожалуйста.

(Оффтоп)

Да что там, я сам напомню!

Теорема Фробениуса: распределение, заданное как пересечение аннуляторов форм $\omega_1, \ldots, \omega_p$, вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда существуют такие 1-формы $a_i^j$, что для любого $k = 1, \ldots, p$ выполняется равенство $d\omega^k = a^k_j \wedge \omega^j$.

Почему вы не можете применить ее здесь? Да потому, что заданные вами формы не обращаются тождественно в нуль на заданном вами же распределении (оно у вас совпадает со всем касательным расслоением)!

[scwec]

Не думаю, что надо заводить дискуссию типа является ли окружность частным случаем эллипса.
Завершим ее на этом.

[Kallikanzarid]

scwec в сообщении #471669 писал(а):

Не думаю, что надо заводить дискуссию типа является ли окружность частным случаем эллипса.

То есть вы вот так сливаетесь? А как хорошо начиналось, я даже на секунду подумал, что подтяну групповой анализ

[scwec]

Не расстраивайтесь, завершить - это я насчет дискуссии по поводу окружности и эллипса.

[Oleg Zubelevich]

scwec

кстати, основной результат темы topic47549.html следует из [Козлов Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике стр 78 Ижевск 1995]

-- Чт июл 28, 2011 12:25:46 --

scwec в сообщении #471500 писал(а):

Это утверждение можно применить для доказательства теоремы из первоначального сообщения.

А как это сделать?

-- Чт июл 28, 2011 12:27:22 --

scwec в сообщении #471500 писал(а):

Поскольку для $p=k+1, \ldots, n\quad c_{ij}^p=0$ по условию

у меня не совсем это написано

[scwec]

Для Oleg Zubelevich: Я не знаком с указанной Вами книгой (или сборником). Был бы Вам благодарен, если бы Вы 78 стр. каким-то удобным для Вас образом выложили для меня. С ходу я ее в сети не нашел.
Кстати, я собираюсь все же закончить повествование в соседнем посте. Дело во времени.
Теперь по поводу "А как это сделать?". Сразу могу сказать, что Вы не заглянули в Эйзенхарта стр.165-166. Может, и вопроса бы не было.
Но попробую.
Переобозначим Ваши поля $w=X_1, u_1=X_2,u_2=X_3,...,u_{m-1}=X_m$ Мне так удобней будет писать. Определим дуальные формы $\omega^1,\omega^2,...,\omega^m$, такие что $\omega^i(X_j)=\delta^{i}_{j}$, $i,j=1...m$
Из условий теоремы следует, что $[X_i,X_j]=\sum{c_{ij}^{k}X_k}$ $i,j=1,...,m$; $k=1,...m-1$.
Таким образом, мы находимся в области применения приведенного выше "утверждения" и для полей $X_1,X_2,...X_{m-1}$ квадратурой находится общий первый интеграл $\varphi^m$, $d\varphi^m=\omega^m$
Дальше мы переходим на поверхность уровня $\varphi^m=c_m$ и уже на ней рассматриваем поля $X_1,X_2,...X_{m-1}$. Эти поля снова в силу условий теоремы удовлетворяют "утверждению" и поля $X_1,X_2,...,X_{m-2}$ имеют общий первый интеграл $\varphi^{m-1}$. Переходим на поверхность уровня $\varphi^m=c_m$, $\varphi^{m-1}=c_{m-1}$ И т.д. до $X_1$. Это схема применения "утверждения". Из нее видно, что не обязательно требовать, чтобы $[X_1,X_i]=0$. Достаточно, чтобы поле $w=X_1$ вместе с остальными полями удовлетворяло условиям исходной теоремы.Я имею в виду $c_{ij}^{k}(x)=0$ для $k>\min(i,j)$
И все-таки Эйзенхарт не помешает.