Compute the integral

[myra_panama]

Вычислить:
$A=\int_0^\pi {\sin ( nx )\cdot\arctan ( \frac{{\tan \frac{x}{2}}}{{\tan \frac{a}{2}}}} )\ dx , 0 < a < \frac{\pi }{2}\;.$

[myra_panama]

ало .... может задачка трудная , или нужно было бы подставит эту тему на раздел "олимпиадные задачи"

[Vince Diesel]

Предполагается, что $n$ целое? Дифференцированием по параметру. А потом интегрированием с учетом того, что $A(0,n)=(1+(-1)^n))\pi/(2n)$. Можно сводить к вычетам, учитывая что подинтегральная функция четная и переходя к интегралу от $-\pi$ до $\pi$.

[myra_panama]

Vince Diesel в сообщении #470860 писал(а):

Предполагается, что $n$ целое?

да $n\in\mathbb{N}$

Vince Diesel в сообщении #470860 писал(а):

Дифференцированием по параметру

По параметру n или a ?

Vince Diesel в сообщении #470860 писал(а):

Можно сводить к вычетам, учитывая что подинтегральная функция четная и переходя к интегралу от $-\pi$ до $\pi$.

??

[Vince Diesel]

По $a$. Заменив в интеграле от $-\pi$ до $\pi$ для $\partial A/\partial\alpha$ синусы и косинусы на экспоненты, а затем $e^{i x}$ на $z$, получим интеграл по окружности $|z|=1$ от рациональной функции.

[myra_panama]

Хоршо. Я начну с начало.
Пусть $I(a)=\int_0^\pi {\sin ( nx )\cdot\arctan ( \frac{{\tan \frac{x}{2}}}{{\tan \frac{a}{2}}}} )\ dx$

Дифференцируя по параметру a получим :

$I'(a)=-\frac12\int_0^{\pi}\frac{\sin nx\cdot \tg {\frac{x}2}}{\cos^2{\frac{a}2}(\tg^2{\frac{a}2}+\tg^2{\frac{x}2})}dx$

Далее следуя за

Vince Diesel в сообщении #470882 писал(а):

Заменив в интеграле от $-\pi$ до $\pi$ для $\partial A/\partial\alpha$ синусы и косинусы на экспоненты, а затем $e^{i x}$ на $z$,

Имеем:
$\sin nx=\frac{z^{n}-z^{-n}}{2i}$ (как так )
$\tg\frac{x}2=\frac{z-1}{i(z+1)}$
$\tg^2{\frac{x}2}=-(\frac{z-1}{z+1})^2$

Подставляя получим вот , что :

$-\frac1{4\cos^2{\frac{a}2}}\int_0^{\pi}\frac{(z^n-z^{-n})\cdot(\frac{z-1}{z+1})}{(-(\frac{z-1}{z+1})^2+\tg^2{\frac{a}2})}dz$

Правильно ли это? Или я на верном пути ?

[Vince Diesel]

Примерно. После упрощения в интеграле для $I'(a)$ будет $\frac12\frac {\sin x \sin n x} { \cos a \cos x - 1}$. Интеграл для $z$ не от нуля до $\pi$, а по окружности $|z|=1$.

[myra_panama]

Vince Diesel в сообщении #471103 писал(а):

Примерно. После упрощения в интеграле для $I'(a)$ будет $\frac12\frac {\sin x \sin n x} { \cos a \cos x - 1}$. Интеграл для $z$ не от нуля до $\pi$, а по окружности $|z|=1$.

Если так , то

$-\frac14\int\limits_{|z|=1}\frac{(z-z^{-1})(z^n-z^{-n})}{\cos a \cdot (z+z^{-1})-2}dz$

ну хоршо шо дальще...

[Vince Diesel]

Считать вычетами. И переход такой:

$$ \int_0^{2\pi}f(e^{i\varphi})\,d\varphi= i^{-1}\int_0^{2\pi}f(e^{i\varphi})e^{-i\varphi}\,de^{i\varphi}= -i\int_{|z|=1}\frac{f(z)}z\,dz. $$

[myra_panama]

$A = \frac{\pi }{{2n}}\left( {\left( {\sec a - \tg a} \right)^n - \left( { - 1} \right)^n } \right)$
Ответ будет как то так , правильно?

[Vince Diesel]

Не знаю, я не считал.