Конечное расширение

[Хорхе]

Существует ли такое собственное подполе $\mathbb F\subset \mathbb R$, что это расширение конечно? Вроде бы нет, но что-то торможу и не соображу.

[Yakov]

Конечно, существует. Рассмотрим $\mathbb{R}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$. Пусть $\mathbb{F}$ - пространство, порождённое над $\mathbb{Q}$ базисом $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ без одного базисного элемента.

[Хорхе]

Yakov в сообщении #471065 писал(а):

Конечно, существует. Рассмотрим $\mathbb{R}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$. Пусть $\mathbb{F}$ - пространство, порождённое над $\mathbb{Q}$ базисом $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ без одного базисного элемента.

Чушь, с чего это вдруг оно будет подполем?


Вот что я могу сказать положительного. Если $\mathbb F\subset \mathbb R$ --- конечное расширение, то минимальное поле $\mathbb K\supset \mathbb F$, такое, что расширение $\mathbb K\subset\mathbb R$ нормально, совпадает с $\mathbb R$. (Иначе у $\mathbb R$ были бы нетривиальные автоморфизмы).

[Yakov]

Хорхе в сообщении #471120 писал(а):

Yakov в сообщении #471065 писал(а):

Конечно, существует. Рассмотрим $\mathbb{R}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$. Пусть $\mathbb{F}$ - пространство, порождённое над $\mathbb{Q}$ базисом $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ без одного базисного элемента.

Чушь, с чего это вдруг оно будет подполем?

Потому что оно порождено над $\mathbb{Q}$ этими элементами.
Надо только убедиться, что оно не совпадает с $\mathbb{R}$.

[Yakov]

А чтобы оно с $\mathbb{R}$ не совпадала, возьмите лучше вместо базиса базис трансцендентности.

[Хорхе]

Yakov в сообщении #471176 писал(а):

Потому что оно порождено над $\mathbb{Q}$ этими элементами.
Надо только убедиться, что оно не совпадает с $\mathbb{R}$.

Все равно чушь. Ни произведение, ни обратный не будут принадлежать. Ну и совпадать с $\mathbb{R}$ не будет, так как это базис.

-- Вт июл 26, 2011 08:00:19 --

Yakov в сообщении #471208 писал(а):

[бред удален] возьмите лучше вместо базиса базис трансцендентности.

Вот это уже ближе к делу. Но все равно умножение может быть не замкнуто (?).

-- Вт июл 26, 2011 08:49:14 --

Небольшое дополнение, так, для профилактики.

Можно взять базис трансцендентности $\mathfrak B$ $\mathbb R$ над $\mathbb Q$, выбросить один элемент: $\mathfrak B_0 = \mathfrak B\setminus\{\zeta\}$ и рассмотреть поле $\mathbb K = \mathbb Q(\mathfrak B_0)$ дробей, в числителе и знаменателе которых многочлены, составленные из элементов $\mathfrak B_0$. Вполне нормальная затея, к тому же $\mathbb K\neq\mathbb R$. Проблема в том, что расширение $\mathbb K\subset\mathbb R$ не может быть конечным.

[Yakov]

Порождены - я имею в виду представимы в виде многочленов с коэффициентами из $\mathbb{Q}$ от базисных элементов. Но оно скорее всего совпадает с $\mathbb{R}$.

А почему у $\mathbb{R}$ нет нетривиальных автоморфизмов?

[Хорхе]

Yakov в сообщении #471358 писал(а):

А почему у $\mathbb{R}$ нет нетривиальных автоморфизмов?

У $\mathbb R$ даже нет нетривиальных кольцевых автоморфизмов. Это доказывается просто. Сначала замечаем, что у $\mathbb Q$ нет нетривиальных автоморфизмов. Далее, положительные переходят в положительные (так как они и только они являются квадратами), поэтому автоморфизм сохраняет порядок. Ну а поскольку $\mathbb Q$ всюду плотно (хотя уместнее ad hoc говорить о плотности по порядку) в $\mathbb R$, то получаем то, что надо.

[Null]

А такая конструкция не работает?

Вполне упорядочим R.Пусть наименьший элемент 0.
Положим $A_0=Q$.
$B_{\alpha}=\bigcup_{\beta<\alpha} A_{\beta}$
$A_{\alpha}=B_{\alpha}(\alpha)$ если $\sqrt{2}$ в полученном поле не лежит, иначе $A_{\alpha}=B_{\alpha}$
$A_R=\bigcup_{\beta\in R} A_{\beta}$
$A_R$ разве не будет искомым? $\sqrt{2}$ в нем не лежит, но $A_R[\sqrt{2}]=R$ и $[R:A_R]=2$

[Хорхе]

Null, во-первых, я ничего не понял, во-вторых, расширение степени два строить даже и не пытайтесь: любое такое расширение является нормальным, а такого, как я уже написал, быть не может точно.

[nnosipov]

Хорхе в сообщении #471482 писал(а):

во-вторых, расширение степени два строить даже и не пытайтесь

Не только степени два, но и любой чётной степени не существует.

[apriv]

Хорхе в сообщении #446933 писал(а):

Существует ли такое собственное подполе $\mathbb F\subset \mathbb R$, что это расширение конечно? Вроде бы нет, но что-то торможу и не соображу.

Не существует, см. статью Эмиля Артина и Отто Шрайера "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (Springer Berlin / Heidelberg) 5 (1927), 225–231

[Хорхе]

Спасибо! Даже больше, чем надо