Две интересные задачки

[Yakov]

1) Доказать, что любой положительный делитель числа $a^2 + 2$, где $a$ - нечётное натуральное, при делении на 8 даёт остаток 1 или 3.

2) Последовательность $\varepsilon_n$ - вещественна - такая, что

$$ \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n $$

сходится.
Найти предел (и доказать, что он существует)

$$ b_n = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^n j \varepsilon_j. $$

[ShMaxG]

Ваши попытки, пожалуйста.

[ShMaxG]

Подскажу по второй.

Обозначим $\[{S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varepsilon _i}} \]$.

1. Докажите$\[\sum\limits_{i = 1}^n {i{\varepsilon _i}} = n{S_n} - \sum\limits_{i = 1}^n {{S_i}} + {S_n}\]$.
2. Докажите, что если существует предел $\[\mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } {S_i} = S\]$, то существует предел $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{S_i}} = S\]$.
3. Возьмите предел выражения: $\[\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {i{\varepsilon _i}} = {S_n} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{S_i}} + \frac{1}{n}{S_n}\]$.