Проверить предел

[Volodya-morda]

Опровергнуть или показать, что справедливо следующее равенство $\lim_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{{\sqrt{4i^2+1}}-1}+\frac{\sqrt {2}}{3}(n+1)^{\frac{3}{2}}-(n+\frac{1}{2})\sqrt{2n}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}$

[mihailm]

(Оффтоп)

Это проверка форума на умение решать задачи или просьба помочь решить? в последнем случае где попытки решения?

[Volodya-morda]

mihailmВторое, но нашел эмпирическим путем!

[Sonic86]

Можете попробовать формулу суммирования Эйлера-Маклорена.

[ewert]

Volodya-morda в сообщении #470890 писал(а):

нашел эмпирическим путем!

Ну и неправильно нашли. Предел действительно существует, но равен он так примерно $0.348$. Доказать существование нетрудно (раз уж оно есть), но его значение вряд ли выражается через что-то хорошее.

[Volodya-morda]

А почему бы не $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Как докажете, что не так?

[Bulinator]

Volodya-morda в сообщении #470899 писал(а):

Как докажете, что не так?

Вот если я сейчас скажу, что через час за Вами прилетят инопланетяне и заберут на Альфу центавру. Как докажете, что не так?

[Volodya-morda]

Да хоть на Кибертрон! А как Вы докажете, что не оффтопнули сейчас?

[Gortaur]

Volodya-morda
Протестую, пользователь Bulinator привел четкую аналогию Вашему аргументу. Что же до опровержения Вашего равенства - нет ничего проще, возведите подпредельное в квадрат, умножьте на 9 и подсчитайте в Mathematica.

[Volodya-morda]

Почему, можно и на калькуляторе! Правда даст ли это ответ на вопрос, вряд ли - равенство эмпирическим путем не опровергнуть(или показать справедливость).

[Gortaur]

Не знал, что символьные вычисления или численные методы - эмпирический путь. Словом, по $\lim\limits_{n\to\infty}9 a^2_n \approx 1.089$, где $a_n$ - это предел чего Вы считаете. При этом данное выражение показывает приятную монотонность (возрастание). Согласуются с ewert'ом, да и мне достаточно. Если хотите строгости - попробуйте показать монотонность либо всей последовательности, (либо хотя бы одной подпоследовательности) и найдите член, который больше $\frac{\sqrt{2}}{3}$ - дальше предел (частичный) будет больше этой дроби.