Найти полиномы p(x),q(x)

[myra_panama]

Find all pairs of polynomials $p(x)$ and $q(x)$ with real coefficients for which
$p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1$.

(Оффтоп)

Видно,что $p(x)=ax+b$ и $q(x)=cx+d$ удовлетворяют наше условие , но для доказательство как то лень..

[Руст]

Можно записать в виде:
$\frac{q(x+1)}{q(x)}-\frac{p(x+1)}{p(x)}=\frac{1}{p(x)q(x)}.$
Отсюда следует, что степени многочленов (если они положительны) равны. Пусть это $n$.
Соответственно $\frac{\Delta q}{q(x)}-\frac{\Delta p}{p(x)}=O(x^{-2n})$. Здесь $\Delta p=p(x+1)-p(x)$ - оператор сопоставляющий многочлену соответствующую разницу. Аналогично получается для квадрата и других степеней оператора $\Delta$. Из $n-$ ой степени получается, что $q(x)=ap(x)+b$. Это дает $b\Delta p\equiv 1$, т.е $p(x)$ Линейный многочлены. В итоге $p(x)=ax+b,q(x)=cx+d$ с условием $bc-ad=1$.

[ShMaxG]

Руст

Руст в сообщении #470648 писал(а):

Отсюда следует, что степени многочленов (если они положительны) равны.

Не могли бы вы пояснить, почему?

[Руст]

Вычтем вначале по 1 и запишем $\frac{\Delta q}{q(x)}-\frac{\Delta p}{p(x)}=\frac{1}{p(x)q(x)}.$
Находим, что если $q(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$, то $\Delta q=na_nx^{n-1}+O(x^{n-2})$. Соответственно $\frac{\Delta q}{q(x)}=\frac{n}{x}+O(x^{-2})$. Так как разница для q и p не дает член $O(x^{-1})$, то их степени равны.

[ShMaxG]

Руст
Понятно, спасибо!

[myra_panama]

(LEMMA)

Lemma: Suppose $ r(x)$ is a polynomial such that $ r(x+1)$ divides $r(x) + r(x+2)$. Then $r$ must be linear