найти предел последовательности

[myra_panama]

Последовательость $a_n$ выражается следующей формулой:

$$\int_{a_n}^{a_{n+1}} (1+|\sin x|)dx=(n+1)^2\ (n=1,\ 2,\ \cdots),\ a_1=0. $$

Найти: $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^3}$

(Оффтоп)

Может задачка легкая,... но как бы для первокурсников ...(сойдет ли задача на олимпиадах...?)

[Padawan]

Во-первых, надо заметить, что $a_{n+1}-a_n$ стремится $+\infty$. Среднее значение подынтегральной функции равно $1+\frac 2\pi$. Поэтому $a_{n+1}-a_n\approx \frac{(n+1)^2}{1+\frac 2\pi}$. По теореме Штольца $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n}-a_{n-1}}{n^3-(n-1)^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{3n^2 (1+\frac 2\pi)}=\frac{1}{3(1+\frac{2}{\pi})}$

[myra_panama]

еще задачка про предел последовательности:

Consider the sequence defined recursively by $(x_1,y_1)=(0,0)$
$(x_{n+1},y_{n+1})=\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)x_n-\frac{1}{n}y_n+\frac{4}{n},\left(1-\frac{1}{n}\right)y_n-\frac{1}{n}x_n+\frac3{n})$

Find $\lim\limits_{n\to \infty}(x_n,y_n).$