Предел последовательности n(2^{1/n} - 1)

[Городецкий Павел]

Что-то я никак не могу взять элементарный предел - даже самому как-то неловко спрашивать, но мозги отказывают

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(2^{1/n} - 1)\]

[Lion]

Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

[Falex]

Ответ: $ln(2)$

[Lion]

Угу.

[Городецкий Павел]

Спасибо

Lion писал(а):

Например, можно решить так: замените n на $1/x$, получится предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}$. Дальше --- Лопиталь.

Во до меня как-то доходит - этот предел очень похож на следствие из второго замечательного предела:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 + 1/x)^x = e$$

или

$$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0 + } (1 + \alpha )^{{1 \over \alpha }} = e$$

при замене

$$1/x = \alpha $$

1.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln (1 + x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln \left[ {(1 + x)^{1/x} } \right] = \ln \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = \ln e = 1$$

2.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^x - 1} \over x} = \left\langle {y = e^x - 1} \right\rangle = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} {y \over {\ln (1 + y)}} = 1$$

И наконец:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2^x - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln 2} - 1} \over x}$$

И в общем случае:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{a^x - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{e^{x\ln a} - 1} \over x}$$

Правильно ли я написал. Вы уж извините меня - что-то к концу года плохо соображается

[Lion]

Да, Вы правы. Осталось только добавить, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}=\ln a\lim\limits_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=\ln a$. По-моему, у нас на лекциях этот предел так и вычислялся.

[bot]

Боюсь наскучить, но Лопиталь опять не в тему - всё-таки один из замечательных пределов.