Задача из книги Прасолова "Эллиптические функции..."

[Коровьев]

Докажите, что линейной заменой $x'=ax+b$ кривую

$y^2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

можно привести к виду

$y^2=x'(x'-1)(x'-\lambda )$

где $\lambda = \frac{{x_3 - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}$

Задача более полно

(Оффтоп)

Поскольку я доказать не смог , то я, естественно, считаю задачу ошибочной

[Sonic86]

Гм.
Наверное надо подобрать $a,b$ из тех соображений, что образ пары точек $(x_1,x_2)$ на прямой равен паре $(0;1)$ (смысл преобразования: в оси Ох переходим в систему координат с репером $(x_1,x_2)$). Т.е. надо систему решить. И тогда $a,b$ - единственные.
Решил, подставил, так и есть - вылазит коэффициент $(x_2-x_1)^3 \sim x_2-x_1 \neq 1$.
Действительно, какая-то фигня Может еще какое преобразование можно сделать?

Какая страница в книге? Стр. 33.

[Коровьев]

Да, это 33 страница.
В принципе, можно не пытаться искать док-во, а сразу применить полученные знания на практике.
Возьмём эллиптическое уравнение
$x(x+c)(x-c)$
Тогда, $x_1=0,x_2=c,x_3=-c$
Отсюда $\lambda =-1$
И получаем кривую бирациональную исходной
$y^2=x'(x'-1)(x'+1)$
не имеющей рациональных нетривиальных рациональных точек, поскольку число 1 не конгруентно. А значит и исходная кривая не имеет нетривиальных точек при любых рациональных $c$
А это уже сенсационный результат.

[Утундрий]

Коровьев
Вы учтите только, что не обязательно $x_1$ в итоге окажется нулём.

[Gortaur]

Утундрий
Имеете ввиду, что нулевой корень может в плюс-минус единицу перейти?

[Утундрий]

Вот, к примеру, $a$ может ведь быть и отрицательным...

[мат-ламер]

Коровьев. Если не получается заменой по $y$ решить задачу, попробуйте одноврменно две линейные (аффинные) замены как по $y$, так и по $x$. (Хотя в условии этого нет, но всё же).

[Коровьев]

Задача решается, если разность двух каких-нибудь корней равна квадрату числа в поле, которому принадлежат сами корни. Иначе преобразование получается нерациональным.
Не добившись от задачи согласия, я её испытал на примере.
Итак, попробую ещё раз объяснить.
Пусть, линейной заменой $x'=ax+b$ любую кривую
$y^2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
можно привести к виду
$y^2=x'(x'-1)(x'-\lambda )$
где $\lambda = \frac{{x_3 - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}$

Возьмём кривую
$y^2=x(x-6)(x+6)$
Которая получается из верхней кривой при $x_1=0, x_2=6,x_3=-6$
тогда $\lambda=-1$
И мы должны с помощью преобразований получить такую кривую
$y^2=x(x-1)(x+1)$
Поскольку число $6$ конгруэнтно, то первая кривая имеет бесконечно много рациональных точек.
Во второй кривой число $1$ не конгруэнтно и, следовательно, кривая не имеет рациональных точек кроме трёх тривиальных.
А это очень неправильно, если преобразования изначально были рациональны. Значит, где-то у меня ошибка.