Арифметическая прогрессия.

[Edmonton]

Могут ли числа 1, $ \sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ быть членами (не обязательно соседними) какой-либо арифметической прогрессии?

Я так понимаю, что нет, из-за того, что в одной и той же прогрессии встречаются и рациональные, и иррациональные числа. Однако мне не понятно, как это более строго доказать?

[maxmatem]

Edmonton
Допустим, что эти числа образуют какую-то арифметическую прогрессию. Тогда справедливы
следующие равенства:

$$\[ \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 - 1 = nd \hfill \\ \sqrt 5 - \sqrt 2 = md \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

где $d$-это разность арифметической прогрессии, а $\[ m,n \in \mathbb{Z} \]$.

Затем исключаем $d$, немного преобразовываем(Это уж сами сделайте...), возводим обе части в квадрат , выражаем из полученного равенства$\[ \sqrt 5 \]$ и получаем противоречие с его иррациональностью.

Но это один из способов, можно еще как-то более изящно, а это так в лоб.
Если есть вопросы, то задавайте..

[nnosipov]

Edmonton в сообщении #469894 писал(а):

Я так понимаю, что нет, из-за того, что в одной и той же прогрессии встречаются и рациональные, и иррациональные числа.

Нет, не поэтому. Причина в том, что число вида $p\sqrt{2}+q\sqrt{5}$, где $p$, $q$ --- рациональные, может быть рациональным только при $p=q=0$.

[maxmatem]

nnosipov
Ну можно и так, но раз ТС, спросил, то несколько проще разобраться в лоб.

[nnosipov]

Главное, чтобы у ТС было желание разбираться. Задача несложная, но вполне содержательная и, по-моему, когда-то была даже олимпиадной.

[Edmonton]

maxmatem в сообщении #469907 писал(а):

Edmonton
Допустим, что эти числа образуют какую-то арифметическую прогрессию. Тогда справедливы
следующие равенства:

$$\[ \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 - 1 = nd \hfill \\ \sqrt 5 - \sqrt 2 = md \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

где $d$-это разность арифметической прогрессии, а $\[ m,n \in \mathbb{Z} \]$.

Затем исключаем $d$, немного преобразовываем(Это уж сами сделайте...), возводим обе части в квадрат , выражаем из полученного равенства$\[ \sqrt 5 \]$ и получаем противоречие с его иррациональностью.

Но это один из способов, можно еще как-то более изящно, а это так в лоб.
Если есть вопросы, то задавайте..

Спасибо, довольно быстро получил выражение, в котором корень из пяти равен натуральному числу, делённому на целое, что невозможно.

-- Чт июл 21, 2011 02:28:54 --

nnosipov в сообщении #469917 писал(а):

Edmonton в сообщении #469894 писал(а):

Я так понимаю, что нет, из-за того, что в одной и той же прогрессии встречаются и рациональные, и иррациональные числа.

Нет, не поэтому. Причина в том, что число вида $p\sqrt{2}+q\sqrt{5}$, где $p$, $q$ --- рациональные, может быть рациональным только при $p=q=0$.

Выражение, указанное Вами, довольно понятно, только вот не могу понять, какое практическое применение оно имеет.