Сжимающее отображение

[Cat]

Как доказать что отображение Ax=cosx(t) не является сжимающим на С_{[0,1]}. Нужно найти такие функции x(t) и y(t), что r(Ax,Ay)>r(x,y)?

[Dialectic]

||Ax-Ay||<=max|-sin(x(t))*x'(t) |*|x(t)-y(t)| где t из [0,1]
Отсюда видно, что если взять например x(t)=t+pi/2-b
то получится, что g= max|-sin(t+pi/2-b))|=1 - при подходящем выборе значения b следовательно отображение не сжимающее.
Первая строчка полученна с использованием теоремы "о конечных приращениях".

[RIP]

Cat
Определение сжимающего отбражения таково:
Существует $q\in(0;1)$, что для любых $x,y$ выполняется $r(Ax,Ay)\le q\cdot r(x,y)$.
Вам надо доказать, что такого $q$ (которое годится для всех $x,y$) подобрать не удастся.

Добавлено спустя 5 минут 41 секунду:

Dialectic
Ваше док-во неправильное. Точно так же можно "доказать", что отображение $Ax(t)=\frac12\cos x(t)$ не является сжимающим, но оно, очевидно, сжимающее.

[Cat]

А с чего можно начать это доказательство?

[RIP]

Доказывать можно, например, от противного. Функции для контрпримера стоит выбирать попроще. Что-то мне подсказывает, что в качестве $x(t)$ и $y(t)$ можно взять постоянные функции. Какие - зависит от $q$.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Вспомните, как разность косинусов раскладывается в произведение.

[Cat]

Сама идея доказательства это то, что нужно взять две пары функкций x и y и показать, что условия на q будут противоположными, то есть взять для них одно и то же q не получится?

[Gordmit]

Во первых, просто запишите отрицание того факта, что $A$ - сжимающее отображение. Затем для произвольного малого $\varepsilon > 0$ возьмите $q = 1- \frac{\varepsilon}{2}$, а функции $x(t)$ и $y(t)$ - константами, близкими друг к другу. Если я не ошибся, удобно будет взять $x(t)\equiv \frac{\pi}{2}$, $y(t)\equiv\frac{\pi}{2}+\varepsilon$.

Как уже было сказано, после применения формулы разности косинусов нужное утверждение будет следовать из неравенства $\sin\varepsilon > \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2}$, $\varepsilon > 0$.

[bot]

Cat, прочитайте ещё раз вот это:

RIP писал(а):

Что-то мне подсказывает ( ), что в качестве $x(t)$ и $y(t)$ можно взять постоянные функции.

[Cat]

Отрицание утверждения, что А является сжимающим отображением - это для любогоq\in(0,1) существуют x,y такие что нер-во не выполняется?

[Capella]

Cat писал(а):

Отрицание утверждения, что А является сжимающим отображением - это для любогоq\in(0,1) существуют x,y такие что нер-во не выполняется?

оффтоп

[Cat]

Или так:
Отрицание утверждения, что А является сжимающим отображением - это для любогоq\in(0,1) существуют x,y такие что нер-во выполняется?

[bot]

Cat писал(а):

Отрицание утверждения, что А является сжимающим отображением - это для любогоq\in(0,1) существуют x,y такие что нер-во не выполняется?

Да, Capella видимо устала или невнимательно прочитала.

[RIP]

Cat писал(а):

Отрицание утверждения, что А является сжимающим отображением - это для любогоq\in(0,1) существуют x,y такие что нер-во не выполняется?

Верно.

[Capella]

bot


Нет, я как-раз имела ввиду правильность второй цитаты и ошиблась (не отрицание, а существование)

Добавлено спустя 10 минут 16 секунд:

Cat

Прошу прощение, естественно первое утверждение верно, моя ошибка.

[Cat]

Таким образом, нужно взять произвольное q и подобрать к нему x,y, такие чтобы r(Ax,Ay)>q\cdot r(x,y)?