JnrtyА. Пуанкаре. Интуиция и логика в математике писал(а):
...Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно число равных частей? Мере думает не так; в его глазах это предложение нисколько не очевидно, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц.
А. Пуанкаре. Интуиция и логика в математике писал(а):
Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.
Благодаря ей трудности при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых окончательно устраняются.
Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства.
Математика, как говорят, арифметизировалась.
III
Прежде всего возникает вопрос: закончилась ли эта эволюция?
Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы подобно им?
Мы надеемся уже не прибегать в наших рассуждениях к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке.
Эти философы правы в одном смысле: для того чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова «интуиция». Но сколько различных идей скрывается под одним и тем же словом?
Сравним такие четыре аксиомы:
1) Две величины, равные третьей, равны между собой.
2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n+1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел.
3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D между А и С, то точка D будет лежать между А и В.
4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и однако же первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая — настоящее синтетическое суждение a priori, это — основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая — скрытое определение.
Интуиция не основывается неизбежно на свидетельстве чувств; чувства скоро оказались бы бессильными; мы не можем, например, представить себе тысячеугольника и однако же интуитивно рассуждаем о многоугольниках вообще, а они включают в себя как частный случай и тысячеугольник.
Вам известно, что подразумевал Понселе под принципом непрерывности. То, что справедливо для действительной величины, говорил Понселе, должно быть справедливо и для мнимой; то, что справедливо для гиперболы, асимптоты которой действительны, должно быть поэтому справедливо и для эллипса, асимптоты которого мнимые. Понселе был одним из самых интуитивных умов в этом веке; он был страстным интуитивистом и чуть ли не гордился этим; он видел в принципе непрерывности одну из самых смелых своих концепций, и, однако, этот принцип не покоился на свидетельстве чувств — уподоблять гиперболу эллипсу было скорее противоречием этому свидетельству. Здесь имело место лишь какое-то поспешное инстинктивное обобщение, что, впрочем, я не хочу отстаивать.
Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.
Две первые не могут дать достоверности, выше я показал это на примерах; но кто станет серьезно сомневаться относительно третьей, кто станет сомневаться в арифметике?
В новейшем анализе, — если пожелаем взять на себя труд быть строгими, — находят место лишь силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.
IV
Философы приводят еще другое возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, — говорят они, — вы теряете в объективности. Вы можете подняться к вашему логическому идеалу, только порвав те связи, которые соединяют вас с реальностью. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться такою, только замыкаясь в свою раковину и запрещая себе всякое сношение с внешним миром. При малейшем же применении ей надо выходить оттуда».
Я хочу, например, доказать, что такое-то свойство принадлежит такому-то объекту, понятие которого кажется мне сначала неопределимым, потому что оно интуитивно. Я сначала затрудняюсь или бываю должен удовлетвориться приближенными доказательствами; наконец, я решаюсь дать моему объекту точное определение — то, которое позволяет мне установить это свойство безукоризненным образом.
«Что же после, — говорят философы, — ведь остается еще доказать, что отвечающий этому определению объект есть тот же самый, который открыт вам интуицией; или еще, что такой-то реальный и конкретный объект, сходство которого с вашей интуитивной идеей вы думаете узнать непосредственно, отвечает вашему новому определению. Только тогда вам будет можно утверждать, что он имеет данное свойство. Вы только переместили затруднение».
Это неточно; затруднение не перемещено, оно разделено. Предложение, которое нужно было обосновать, в действительности состояло из двух различных истин, которые не сразу были отличены друг от друга. Первая — математическая истина, и теперь она строго обоснована. Вторая — истина экспериментальная. Только опыт может научить нас, что такой-то реальный, конкретный объект отвечает или не отвечает такому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказывается математически, но она и не может доказываться, точно так же, как не могут доказываться эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы безрассудно требовать большего.
Но разве не большой шаг вперед — различить то, что долгое время неправильно смешивали?
Не значит ли это, что нужно совсем откинуть: это возражение философов? Этого я не хочу сказать; сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер, который поражает всех; она забывает свое историческое происхождение; видно, как вопросы могут разрешаться, но уже не видно больше, как и почему они ставятся.
Это указывает нам на то, что недостаточно одной логики; что наука доказывать не есть еще вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение — я сказал бы, как противовес или как противоядие логики. .
Я уже имел случай указать то место, какое должна иметь интуиция в преподавании математических наук. Без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы любить ее и увидели бы в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее.
А. Пуанкаре. Интуиция и логика в математике писал(а):
Логик, так сказать, разлагает каждое доказательство на множество элементарных операций; когда рассмотрят одну за другой эти операции и констатируют, что каждая из них правильна, можно ли думать, что понят истинный смысл доказательства? Поймут ли его даже тогда, когда напряжением памяти будут в состоянии повторить это доказательство, воспроизведя все эти элементарные операции в том же порядке, в каком их разместил изобретатель?
Очевидно, нет, мы еще не овладеем всецело реальностью; то нечто, что создает единство доказательства, совсем ускользнет от нас.
Чистый анализ предоставляет в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их непогрешимость; он открывает нам тысячу различных путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены, что не встретим там препятствий; но какой из всех этих путей скорее всего приведет нас к цели? Кто скажет нам, какой следует выбрать? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима для исследователя в выборе пути, она не менее необходима и для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он избрал его.
Если вы присутствуете при шахматной партии, чтобы понять ее, вам недостаточно будет знать правила ходов фигур. Это только позволило бы вам знать, что каждый ход сделан по правилам игры, а это преимущество, конечно, не имело бы большой цены. Однако в таком положении был бы читатель математической книги, если бы он был только логиком. Совсем другое дело — понимать партию; это значит знать, почему игрок выдвигает одну фигуру раньше другой, которую он мог бы подвинуть, не нарушая правил игры. Это значит подметить скрытую мысль, которая делает из этого ряда последовательных ходов нечто вроде организованного целого. Тем более эта способность необходима для самого игрока, т. е. для изобретателя.
Оставим это сравнение и вернемся к математике. Посмотрим, что произошло, например, с идеей непрерывной функции. Вначале это был только чувственный образ, например образ непрерывной черты, проведенной мелом на чёрной доске. Потом мало-помалу она стала очищаться: скоро воспользовались ею для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все черты первообраза; когда это построение было окончено, тогда освободили ее от «строительных лесов», отбросив то грубое представление, которое служило ей некоторое время подпорой, а теперь стало бесполезным; не осталось больше ничего, кроме самого построения, безупречного в глазах логика. Однако же если бы первообраз совершенно исчез из нашей памяти, как бы мы угадали, по какой прихоти были построены так, одно за другим, эти неравенства?
В. И. Арнольд. О преподавании математики. писал(а):
От моих французских друзей я слышал, что склонность к сверхабстрактным обобщениям является их традиционной национальной чертой. Я не исключаю, что здесь действительно идет речь о наследственной болезни, но все же хотел бы подчеркнуть, что пример с яблоком и пирогом я заимствовал у Пуанкаре.
Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).
В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полученные заключения.
Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими "фактами" по правилам формальной логики, объявляя "теоремами" все то, что из них можно вывести.
Понятное дело, что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывает известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надежный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.
Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов ("доказательств"), тем менее надежен окончательный результат.
Сложные модели редко бывают полезными (разве что для диссертантов).
Математическая технология моделирования состоит в том, чтобы от этой неприятности отвлечься и говорить о своей дедуктивной модели так, как если бы она совпадала с реальностью. Тот факт, что этот --- явно неправильный с точки зрения естествознания --- путь часто приводит к полезным результатам в физике, называют "непостижимой эффективностью математики в естественных науках" (или "принципом Вигнера").
Здесь можно добавить замечание, принадлежащее И.М. Гельфанду: существует еще один феномен, сравнимый по непостижимости с отмеченной Вигнером непостижимой эффективностью математики в физике --- это столь же непостижимая неэффективность математики в биологии.
"Тонкий яд математического образования" (по выражению Ф. Клейна) для физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от реальности и перестает с нею сравниваться. Вот самый простой пример: математика учит нас, что решение уравнения Мальтуса dx/dt=x однозначно определяется начальными условиями (т.е. что соответствующие интегральные кривые на плоскости (t,x) не пересекают друг друга). Этот вывод математической модели имеет мало отношения к реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. И действительно, скажем, кривые с начальными условиями x(0)=0 и x(0)=1 при t=-10 практически пересекаются, а при t=-100 между ними нельзя вставить и атома. Свойства пространства на столь малых расстояниях вовсе не описываются евклидовой геометрией. Применение теоремы единственности в этой ситуации --- явное превышение точности модели. При практическом применении модели это надо иметь в виду, иначе можно столкнуться с серьезными неприятностями.
Замечу, впрочем, что та же теорема единственности объясняет, почему заключительный этап швартовки корабля к пристани проводится вручную: при управлении, когда скорость причаливания определяется как гладкая (линейная) функция от расстояния, для причаливания потребовалось бы бесконечное время. Альтернативой является удар о причал (демпфируемый надлежащими неидеально упругими телами). Между прочим, с этой проблемой пришлось всерьез столкнуться при посадке первых же спускаемых аппаратов на Луну и Марс, а также при причаливании к космическим станциям --- здесь теорема единственности работает против нас.
К сожалению, ни подобные примеры, ни обсуждение опасности фетишизирования теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом).
Не говоря уже об относительном характере исходных аксиом, нельзя забывать о неизбежности логических ошибок в длинных рассуждениях (скажем, в виде сбоя в компьютере, вызванного космическими лучами или квантовыми осцилляциями). Каждый работающий математик знает, что если не контролировать себя (лучше всего --- примерами), то уже через какой-нибудь десяток страниц половина знаков в формулах будет переврана, а двойки из знаменателей проникнут в числители.
Технология борьбы с подобными ошибками --- такой же внешний контроль экспериментами или наблюдениями, как и в любой экспериментальной науке, и ему следует с самого начала учить школьников младших классов.
Попытки создания "чистой" дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение --- модель --- исследование модели --- выводы --- проверка наблюдениями) и замена ее схемой: определение --- теорема --- доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов. Например, они были бы готовы определить произведение натуральных чисел при помощи правила умножения "столбиком". Коммутативность умножения становится при этом трудно доказываемой, но все же выводимой из аксиом теоремой. Эту теорему и ее доказательство можно затем заставить учить несчастных студентов (с целью повысить авторитет как самой науки, так и обучающих ей лиц). Понятно, что ни такие определения, ни такие доказательства, ни для целей преподавания, ни для практической деятельности, ничего, кроме вреда, принести не могут.
Продолжение следует...
-- 16.07.2011, 18:34 --(Оффтоп)
alex1910Вы меня троллируете.
-- 16.07.2011, 18:54 --Нет... т.е. да- это неправда.
Почему Вы так уверены?
-- 16.07.2011, 19:22 --(Оффтоп)
Jnrty, я не могу продолжить цитирование и, соответственно, полностью Вам ответить, потому что длина моего сообщения превысит допустимые пределы. Как быть?
?
, очевидно же.