Про подстановки.

[Sirion]

Подстановки группы $S_n$ занумеровали в некотором порядке числами от 1 до n!. Сколько существует таких подстановок P из группы $S_{n!}$, что подстановки группы $S_n$, перемноженные в порядке, определяемом P, дадут в результате тождественную подстановку?

[Руст]

Действие $S_{n!}$ на $S_n$ транзитивно при $n>2$, соответственно подгруппа оставляющая на месте имеет порядок $\frac{(n!)!}{n!}.$
При $n\le 2$ группы коммутативны и $n!$.

[Sirion]

Это очевидная неправда. Например, элементы $S_3$ вообще нельзя перемножить указанным образом в силу чётности.

[Руст]

Да, действительно при $n=3$ результат умножения всегда нечетная перестановка и таких $P$ не существует.
Начиная с $n=4$ количество нечетных перестановок четное и результат всегда четная перестановка. Если для некоторого $P$ результат умножения равно $Y$, то перенумерацией элементов из n, соответствующих сопряжениям перестановок, получаем, что столько же перестановок в $S_{n!}$ дают результат произведения $xYx^{-1}$ сколько и $Y$. Однако, было поспешным, что каждый результат получается одинаковое число раз. Надо организовать такое умножение в $S_{n!}, n>3$, чтобы результат произведения давал произведение результатов произведения. Только тогда удастся получить $\frac{2(n!)!}{n!}.$ Пока это не очевидно и возможно для $n=4$ это не так.