Диофантово уравнение

[Morkonwen]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить в целых числах
$\sqrt[7]{x^7-y^7}=z$

[bnovikov]

Так ведь теорема Ферма уже доказана!

[lim0n]

Например, $z=0, x=y$ -- чем не решение?.. Думайте дальше.

[nnosipov]

bnovikov в сообщении #469234 писал(а):

Так ведь теорема Ферма уже доказана!

Конечно, но можно попробовать доказать более-менее элементарно некоторые её частные случаи. Для показателя $3$ это сделал Эйлер, для показателей $5$ и $7$ --- Дирихле и Ламе соответственно (если не ошибаюсь). Здесь можно опереться на тот факт, что соответствующее круговое поле будет одноклассным (правда, это тоже нужно будет доказать). В целом, работы здесь тоже немало, и я бы посоветовал ТС для начала разобраться с технически более простым случаем показателя $5$, это вполне реально (сам когда-то проделывал). Полезно также почитать книги М.М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" и Г. Эдвардса "Последняя теорема Ферма".

[Morkonwen]

Да, шутка была в том что теорема ферма для натуральных чисел =) Но, видно, несмешно пошутил=(