Задачка по теории вероятностей, теории меры.

[IE]

Задача: $(\Omega,\mathscr{A},P)$ --- неатомическое вероятностное пространство. Доказать, что множество значений функции $P(A),\quad{} A\in\mathscr{A}$ есть весь отрезок $[0,1]$. Определение: $A$ --- атом, если $\forall B: B\subseteq A \quad{} P(B)=P(A)$ либо $P(B)=0$

Решение:

1. Множество значений функции $P(A),\quad{} A\in\mathscr{A}$ замкнуто, т.к. $\mathscr{A}$ --- сигма-алгебра, обойдемся без доказательства.

2. Пусть в множество знач. рассм функции не входит интервал $(x_1,x_2)$, тогда вместе с ним не входит и интервал $(1-x_2,1-x_1)$, будем считать, что $0<x_1<x_2<1-x_2<1-x_1<1$ и $m=\min(x_1, x_2-x_1)$.

3. Рассм. множества $A_1, A_2, \overline{A_1}, \overline{A_2}: P(A_1)=x_1, P(A_2)=x_2$ и класс множеств $\mathscr{B}=\{B:P(B)<m, B\in\mathscr{A}\}$

$P(\overline{A_2}\cup B)=P(\overline{A_2})+P(B)-P(\overline{A_2}B)$, чтобы эта вероятность не попала в интервал $(1-x_2,1-x_1)$ необходимо чтобы $P(B)=P(\overline{A_2}B)$, то есть $\forall B \in \mathscr{B} B\subseteq \overline{A_2}$, аналогичные рассуждения показывают, что $\forall B \in \mathscr{B}: B\subseteq A_1$
если $m=x_1$, то на этом пока остановимся, в противном случае

Рассм. класс множеств $\mathscr{B_1}=\{B:m\leqslant P(B)<m_1=min(x_2-x_1+x_2-x_1,x_1), B\in\mathscr{A}\}$, тогда
$P(\overline{A_2}\cup B)=P(\overline{A_2})+P(B)-P(\overline{A_2}B)$ и $P(B)-P(\overline{A_2}B)$ должно либо равняться нулю, тогда $\forall B \in \mathscr{B_1}: B\subseteq \overline{A_2}$ либо $P(B)-P(\overline{A_2}B)> x_2-x_1$, то есть $x_2-x_1>P(B)-(x_2-x_1)>P(\overline{A_2}B)$ и тогда в силу первого шага $\forall B \in \mathscr{B_1} B\subseteq \overline{A_2}$ и в итоге $\forall B \in \mathscr{B_1} B\subseteq \overline{A_2}$

и повторяем этот шаг пока не дойдем до класса множеств с вероятностями меньше $x_1$. Все аналогичные рассуждения проводим для множества $A_1$, получим, что $\forall B: P(B)<x_1 B\subseteq A_1,\overline{A_2}$.

Пусть $C$ ---произвольное множество рассмотрим $P(A_2C)$, возможны следующие случаи:

1.$P(A_2C)=0$

2. $P(A_2C)<x_2$ это равносильно тому, что $P(A_2C)<x_1$,что невозможно так как $\forall B: P(B)<x_1 B\subseteq \overline{A_2}$.

3.$P(A_2C)=x_2$

Следовательно $\forall D: D\subseteq A_2 \quad{} P(D)=P(A_2)$ и $A_2$ ---атом,что противоречит неатомичности (отсутствию атомов) исходного вероятностного пространства.

-------------------------------
Это правильные рассуждения? И можно ли решить задачку как-нибудь иначе?

[maasdam]

Требуемое утверждение сразу следует из теоремы Серпинского: если мера $\mu$ безатомна и для некоторого измеримого множества $A\quad \mu(A)>0$, то для всех $b\in [0, \mu(A)]$ существует такое измеримое $B\subseteq A$, что $\mu(B)=b$.

См. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B)

Цитата:

1. Множество значений функции замкнуто, т.к. --- сигма-алгебра, обойдемся без доказательства.

А вот этот пункт, на мой взгляд, вовсе не является очевидным и требует доказательства.

[sasha-parazit]

Если считать, что $P(\mathscr{A})$ - замкнутое множество.
См.

Цитата:

1. Множество значений функции замкнуто, т.к. --- сигма-алгебра, обойдемся без доказательства.

То доказательство можно продолжить и так.

Для $A \in \mathscr{A}$ рассмотрим класс $\mathscr{B}(A) = \{ B \in \mathscr{A} | B \supset A \text{ и } P(B\setminus A) >0 \}$.

Предположим, что $P(\mathscr{A}) \neq [0,1]$.

Тогда существует $A \in \mathscr{A}$ такое, что \inf\limits_{B \in \mathscr{B}(A)}P(B) - P(A) = \varepsilon > 0 (это из замкнутости).

Выделим из класса $\mathscr{B}(A)$ монотонную последовательность множеств $B_n$ (B_{n+1} \subset B_n$) следующим образом:
$B_n$ -- построено, тогда $B_{n+1} \in \mathscr{B}$ --- любое такое, что $P(B_{n+1}) - \inf\limits_{B \in \mathscr{B}(A), B \subset B_n }P(B) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}$.

Рассмотрим множество $C = \cap\limits_{n \in \mathbb{N}}B_n \in \mathscr{A}$.

Очевидно, что $A \subset C$ и $P(C) \geq \inf\limits_{ B \in \mathscr{B}(A)}P(B) $.
А также, что $P(C \setminus A) \geq \varepsilon $.

Но тогда любое подмножество множества $C \setminus A$ либо имеет нулевую меру, либо меру всего этого множества(Здесь используется процедура построения $B_n$).

Это противоречит безатомности.

[sasha-parazit]

Выделенное цветом мне не ясно. IE, пожалуйста, объясните.

IE в сообщении #233340 писал(а):

Рассм. класс множеств $\mathscr{B_1}=\{B:m\leqslant P(B)<m_1=min(x_2-x_1+x_2-x_1,x_1), B\in\mathscr{A}\}$, тогда
$P(\overline{A_2}\cup B)=P(\overline{A_2})+P(B)-P(\overline{A_2}B)$ и $P(B)-P(\overline{A_2}B)$ должно либо равняться нулю, тогда $\forall B \in \mathscr{B_1}: B\subseteq \overline{A_2}$ либо $P(B)-P(\overline{A_2}B)> x_2-x_1$, то есть $x_2-x_1>P(B)-(x_2-x_1)>P(\overline{A_2}B)$ и тогда в силу первого шага $\forall B \in \mathscr{B_1} B\subseteq \overline{A_2}$ и в итоге $\forall B \in \mathscr{B_1} B\subseteq \overline{A_2}$

и повторяем этот шаг пока не дойдем до класса множеств с вероятностями меньше $x_1$. Все аналогичные рассуждения проводим для множества $A_1$, получим, что $\forall B: P(B)<x_1 B\subseteq A_1,\overline{A_2}$.