Помогите дорешать (определенный интеграл)

[Анастасия32]

Дан интеграл (от $2$ до $2\sqrt{3}$)

$$\int\frac{\sqrt{(x^2+4)}dx}{x^2}=$$

$$\left[ x=2\tg t\quad dx=d(2\tg t)=2(\tg t)'dt=\frac{2dt}{\cos^2(t)}\right]$$

$$=\int\frac{\sqrt{4\tg^2t+4}*2dt}{4 \tg^2(t)\cos^2(t)}=\int\frac{\cos^2(t)dt}{\cos(t)\sin^2(t)\cos^2(t)} = \int\frac{dt}{\cos(t)\sin^2(t)}=??$$

А вот делать дальше я даже и не знаю.

[Falex]

Пишите в тегах $x^2+4 ...$

[нг]

нг:

Для начала — записать формулу так, как это принято на форуме. Я хотел было помочь, но не сумел прочитать Вашу клинопись.

[незваный гость]

По-моему, правильная подстановка — через гиперболические функции ($\sh x$). Но это, разумеется, дело вкуса.

[Анастасия32]

Я исправила моё 1 сообщение, не судите строго в тегах написала первый раз.
Как дорешать до сих пор не знаю.

[V.V.]

Сделайте замену $z=\sin t$.

[незваный гость]

Мой совет использовать гиперболическую функцию отзывается — я не сумел-таки прочитать Ваше задание. Спасибо, что Вы исправили. Мне кажется, более продуктивным другой подход: после взятия по частям ($\sqrt{4+x^2}$ и $-\frac1x$) останется табличный интеграл (который, на этот раз уже действительно берется используя гиперболические функции).

Либо можно продираться используя данную Вам подстановку — она работает.

[Brukvalub]

Домножьте числитель и знаменатель полученного Вами последнего интергала на cos (t), в числителе занесите его как sin(t) под дифференциал, а в знаменателе замените квадрат cos (t) на( 1- кавдрат sin(t)), после чего получится интеграл от рациональной дроби, который легко берется стандартным алгоритмом.

[Анастасия32]

Brukvalub писал(а):

Домножьте числитель и знаменатель полученного Вами последнего интергала на cos (t), в числителе занесите его как sin(t) под дифференциал, а в знаменателе замените квадрат cos (t) на( 1- кавдрат sin(t)), после чего получится интеграл от рациональной дроби, который легко берется стандартным алгоритмом.

У нас получится в числителе -$ \frac{d(sint)}{(1-sin^2t)sin^2t}$ Каким же стандартным алгоритмом можно воспользоваться, что-то я не поняла.

[Brukvalub]

Замените sin(t)=u, разложите рац. дробь в сумму простейших:

$$ {1 \over {(1 - u^2 )u^2 }} = {1 \over {u^2 }} + {1 \over {(1 - u^2 )}} $$

, получатся два табличных интеграла, возьмите их по таблице и делайте обратные замены, возвращаясь к исходным переменным.

[Анастасия32]

Т.е. получится $\frac{1}{u}$ -$\frac{1}{2}$ln$\frac{u-1}{u+1}$ ????

[незваный гость]

Боюсь, что нет. Проверьте дифференцированием.

P.S. Лучше не окружать весь текст тегом math: не так:

[math]Т.е. получится $\frac{1}{u}$ -$\frac{1}{2}$ln$\frac{u-1}{u+1}$[/math] ????

, а так:

Т.е. получится [math]$\frac{1}{u} -\frac{1}{2}$ln$\frac{u-1}{u+1}$[/math] ????

или (еще лучше и проще) —

Т.е. получится $\frac{1}{u} -\frac{1}{2}$ln$\frac{u-1}{u+1}$ ????

Обратите внимание — минус между $\frac1u$ и логарифмом у меня — часть формулы.