|
В исчислении высказываний если (A-->B) - тавтология, то говорят "A логически влечет B" или "B является логическим следствием A" (см. Э. Мендельсон, стр. 25).
В качестве «A» мы имеем две формулы, для которых можно составить истинностные таблицы. Учитывая что (A-->B) – тавтология, таблица для «B» будет давать на выходе значение «истина» во всех тех строках, в которых «A» дает «истина» и возможно ещё в других строках.
На пример, x+y (конъюнкция атомов «x» (1100) и «y» (1010)), в качестве формулы «A», имеет в столбце значений 1000. Тогда формула «B» должна иметь обязательно значение 1 (истина) в первой строке и возможно в некоторых других, включая случай когда «B» тавтология. Но тавтологий бесконечное множество. Возьми тавтологическую формулу
x-->x в качестве «B» и подставь на место «x» любую формулу «C», получишь снова тавтологию.
Так что о конечном числе формул «B» здесь говорить явно не приходится.
Я бы сформулировал эту задачу так (для формулы x+y):
Найти формулы (B) столбцы значений которых имеют вид:
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (заметь, на первом месте стоит 1).
На пример, для столбца 1001 получаем дизъюнктивную нормальную форму
(x+y)*(~x+~y),
а также конъюнктивную нормальную форму
(~x*y)+(x*~y). Здесь ~ - отрицание.
Те же формы можно найти для остальных столбцов (см. Э. Мендельсон, стр. 31, 32).
Хотя я и знаю университетский курс «Исчисление высказываний» достаточно хорошо, все же я не математик по специальности. Поэтому советую обратиться также к специалистам или к более сильным студентам.
Если ты учишься на математика, то у меня, в свою очередь, тоже есть вопрос. Обсуди его с преподавателем по математической логике.
«Почему присоединение к исчислению высказываний пропозициональной формулы А в качестве аксиомы (а не схемы аксиом) тогда и только тогда нарушает простую непротиворечивость, когда А является тождественно ложной формулой?»
Об этом сказано в книгах Клини «Введение в метаматематику» (на стр. 123, сноска 1) и Чёрча «Введение в математическую логику» (на стр. 401, примечание 223), но их доводы (для меня) недостаточны, чтобы полностью понять это предложение, хотя с ним я в принципе согласен.
Если сможешь, помоги. Буду очень признателен.
Андрей
|
