Помогите разобраться с доказательством теоремы

[Норберт]

Заранее прошу читателя не пугаться. Возможно, для ответа на мой вопрос полная формулировка теоремы и не нужна, но я все таки ее приведу.

Теорема

Пусть $A$ унитальная $C^*$-алгебра, $Y$ нормированный левый $A$-модуль со свойством

$$ ||a_1y_1+a_2y_2||^2\leq||a_1a_1^*+a_2a_2^*||(||y_1||^2+||y_2||^2)\quad $$

где, $a_1,a_2\in A\quad y_1,y_2\in Y$.
Тогда для любого $f\in Y^*$ нормы 1, существует $\psi\in A^*$ такой что

$$||\psi||=\psi(1_A)=1\qquad(1)$$

$$|f(ay)|\leq\psi(aa^*)^{1/2}||y||\qquad(2)$$

N.B.
Все рассматривается над полем $\mathbb{C}$.

В самом начале теоремы утверждается что неравенство $(2)$ очевидно (!) эквивалентно неравенству

$$ 2 \operatorname{Re} f(ay) \leq \psi(aa^*) + ||y||^2.\qquad(3) $$

В одну сторону (из (2) в (3)) это действительно очевидно, но вот в другую что не получается. Причем в оригинальном доказательстве эта эквивалентность подразумевается просто как алгебраический трюк никак не использующий каких-то особых условий теоремы.

Собственно вопрос. Как доказать эквивалентность? Может быть условия теоремы все таки пригодятся.

[Circiter]

Вот такие наивные мысли есть. Можно ли обе части $(2)$ возвести в квадрат? Если можно, то получится

$$|f(ay)|^2\leqslant\left|\psi(aa^*)^{1/2}\|y\|\right|^2.\eqno(I)$$

В выражении $\psi(aa^*)+\|y\|^2$ из $(3)$ я почему-то увидел Коши-Буняковского (а может быть надо было воспользоваться тем вашим свойством левого модуля). :) Похоже на бред, но тем не менее позволяет записать неравенство

$$\left|\psi(aa^*)^{1/2}\|y\|\right|^2\leqslant\psi(aa^*)+\|y\|^2.\eqno(II)$$

Теперь из $(I)$ и $(II)$ получаем

$$|f(ay)|^2\leqslant\psi(aa^*)+\|y\|^2.\eqno(III)$$

Мы знаем, что для $z\in\mathbb{C}$ верно $|z|^2=zz^*$ и $\operatorname{Re}z=(z+z^*)/2$. Применяя это к $f(ay)$, выдвигая гипотезу о справедливости $z+z^*\leqslant zz^*$ (из которой получается $2\operatorname{Re}z\leqslant|z|^2$) и учитывая $(III)$ я прихожу к желаемому

$$2\operatorname{Re}f(ay)\leqslant|f(ay)|^2\leqslant\psi(aa^*)+\|y\|^2,$$

совпадающему с $(3)$. Причем это же все проделывалось вполне формальными тождественными переписываниями, а значит можно говорить об эквивалентности... Э... В общем... Извините если пургу наговорил. :)

[Норберт]

Неравенство $(II)$ неверное, потому что произведение чисел обычно больше их суммы. Гипотеза $z+z^*\leq zz^*$ тоже неверная, достаточно взять $z=1+0 i$.

В любом случае, спасибо за попытку.

[sup]

Сначала "избавимся" от $\operatorname{Re}$.
Пусть $\lambda =\overline {f(ay)}/|f(ay)|$. Отметим, что $|\lambda| =1$. Тогда
$2|f(ay)|=2\operatorname{Re}f(\lambda ay) \leqslant \psi (aa^*) +\|y\|^2$.
А теперь, для любого $\mu \in \mathbb {R}$
$2|f(ay)|=2|f((\mu a) (y/\mu))| \leqslant \mu^2\psi (aa^*) +\|y\|^2/\mu^2$.
Осталось выбрать $\mu =\|y\|/\sqrt{\psi (aa^*)}$.
Насколько мне известно, это довольно известный прием. Так, например, можно вывести неравенство Гёльдера из неравенства Юнга.

[Норберт]

Спасибо, это то что нужно.

Правда, нужно будет отдельно рассмотреть случай когда $\psi(aa^*)=0$, но это исправимо.