Проблема Лежандра

[vorvalm]

В свое время А.Лежандр предположил, что $p_{n+1}-p_n < \sqrt {p_n}$. Эта оценка применима только к достаточно большим простым числам, т.к. можно привести контр пример: $127-113 >\sqrt {113}$.
К этой проблеме можно довольно близко подойти с помощью закономерностей распределения вычетов ПСВ.(см.тему"Беконечность простых чисел-близнецов"). Если мы найдем максимально возможную разность между соседними вычетами ПСВ, то это будет и максимально возможная разность между простыми числами ПСВ в интервале Ip.
Не трудно заметить, что в ПСВ в начале (и в конце) образуются разности $p_{r+1}-1$, но они не являются максимальными при M>210. В ПСВ по модулям M>210 существуют как минимум две разности $d=2p_{r-1}$
Чтобы не путать разности d между любыми вычетами ПСВ с разностью между соседними вычетами, последнюю будем обзначать Bd, как группу 2-го размера.
Теорема. В ПСВ по модулю $M_r$ есть группы Bd при $d=2p_{r-1}$.
Доказательство. Рассмотрим разности $d=2p_{r-1}$ в узлах $kM_{r-2}$ в ПСВ по модулю $M_r$. Среди этих узлов можно найти такое "к", когда числа $kM_{r-2}\pm 1$ будут кратны одно $p_r$ другое $p_{r-1}$. Тогда вычеты $kM_{r-2}\pm p_{r-1}$ обравзуют группы Bd при $d=2p_{r-1}$.
Рассмотрим суперпозицию двух классов чисел:$p_r(2n+1)$, $p_{r-1}(2m+1)$ , (n,m=0,1,2,3,...)
Вычеты такой суперпозиции образуют все разности от 2 до $2p_{r-1}$ и при $x=(2n+1)$ и $y=(2m+1)$ будем иметь: $\mid xp_r-yp_{r-1}\mid = 2$.
Это равносильно системе сравнений:
$x_1p_r\equiv2(\mod p_{r-1})$
$x_2p_r\equiv-2(\mod p_{r-1})$
Так как $(p_r,p_{r-1})=1$, то мы имеем 2 решения уравнения (1) в интервале $2p_rp_{r-1}$. Число таких интервалов в ПСВ по модулю $M_r$: $\frac {M_r}{2p_rp_{r-1}}=0,5M_{r-2}$.
Разность между узлами $z(2p_rp_{r-1})$ и $kM_{r-2}$, когда числа $kM_{r-2}\pm1$ будут кратны одно $p_r$ другое $p_{r-1}$, равна: $2T=\mid z(2p_rp_{r-1})-kM_{r-2}\mid$ , где $2T=0,5(xp_r+yp_{r-1})$ , х и у - решения уравнения (1).
Это раносильно системе сранений:
$k_1M_{r-2}\equiv2T(\mod2p_rp_{r-1})$
$k_2M_{r-2}\equiv-2T(\mod2p_rp_{r-1})$
Так как $(p_r,p_{r-1},0,5M_{r-2})=1$, то мы имеем 2 решения уравнения (2) в ПСВ по модулю $M_r=p_rp_{r-1}M_{r-2}$. Следовательно, в любой ПСВ по модулю $M_r$ в узлах $kM_{r-2}$ есть группы Bd при $d=2p_{r-1}$.

[vorvalm]

Пример. Найти группы В26 в ПСВ по модулю М(17).
Решение. $p_r=17 , p_{r-1}=13 , M_{r-2}=2310$. Находим числа $xp_r , yp_{r-1}$.
1) $7\times17 - 9\times13 = 119-117=2$
2)$25\times13 - 19\times17=325-323-2$
$2T_1=0,5(119+117)=118$ , $2T_2=324$ . Берем $2T=118 , T-59$.
$k_1 1155\equiv59(\mod221) , k_1=94 , k_2=221-94=127$.
При $T=162$ получим тот же результат, т.к. 162+59=221.
Числа $94\times2310\pm1 , 127\times2310\pm1$ - кратны одни 17, другие 13.
Вычеты $94\times2310\pm13 , 127\times2310\pm13$ образуют группы В26
Возникает вопрос, является ли разность $2p_{r-1}$ максимальной В ПСВ. Оказывается, что в ПСВ по модулям до М(19) это так и есть. Однако при М(23) в ПСВ кроме разности 38 появляется разность 40, т.е. разность 38 не является максимальной. Пишлось создавать специальную программу для вычисления d-max в ПСВ и при М(83) была найдена разность 166, т.е.$2p_r$. Дальнейшие поиски показали, что разности в ПСВ не превышают $d=2p_{r+1}$.
Чтобы доказать, что в ПСВ нет разностей $2p_{r+1}$ находим число этих разностей в ПСВ. $Nd=A_2\varphi_2(M_r)$ , для $d=2p_{r+1} , A_2=1$, $Nd=\varphi_2(M_r)$, отсюда $dNd > M_r$, т.е. разности $2p_{r+1}$ в основном перекрывают друг друга.
Число таких разностей нечетное, т.к. функция $\varphi_2(M_r)$ - нечетная и одна разность находится в центре ПСВ по модулю (1,5-0,5)М. Модуль $M_r$ состоит из $p_r$ модулей $M_{r-1}$, а они в свою очередь состоят из $p_{r-1}$ модулей $M_{r-2}$ , и т.д. Следовательно, можно считать распределение разностей $2p_{r+1}$ в ПСВ относительно равномерным. В этих же узлах эти разности могут и не перекрывать друг друга, но между ними всегда есть вычеты М+1 или М-1, или оба вместе.
Например, разность $2p_{r+1}$ является минимальной в диапазоне Dp простых чисел в ПСВ по модулю (1,5-0,5)М и не может быть разностью Bd, т.к. между ними всегда есть вычеты из близнекцов $M\pm1$. Случай, когда оба близнеца не являются вычетами ПСВ разобран в теореме.
Таким образом, отдельно существующей разности $2p_{r+1}$ в любой ПСВ нет. Они или перекрывают друг друга или между ними есть другие вычеты ПСВ. Отсюда грубая оценка: $p_n < p^2_{r+1}$ , $\sqrt{p_n} < p_{r+1}$ , $p_{n+1}-p_n < 2p_{r+1}$ или $p_{n+1}- p_n < 2\sqrt{p_n}$.
Это значително лучше оценки Ингама: $p_{n+1}-p_n < p_n^\frac 5 8= p_n^\frac 1 8 \sqrt{p_n}$, т.к. при $p_n > 256$ коэффициент при $\sqrt{p_n}$ больше 2 и увеличивается с ростом $p_n$.