Сокращение размеров движущихся тел

[EvilPhysicist]

В общем, если у нас есть шесть, с концами A И В, у которых координаты в ИСО, где они покоятся, ИСО 1
$x_A=0$
$x_B=b$
То в 1 длинна шеста, которую мы будем вычислять по формуле $ l= x_B-x_A =b $.
Далее, переходя в ИСО 2, чьё начало координат движется по оси ОХ ИСО 1 со скоростью u, так что оси координат 1 и 2 всегда либо параллельны либо совпадают, то в ИСО 2 координаты концов стержня
$ x'_A=-ut\gamma $
$ x'_B=\gamma(b - ut)$
И если вычислять длину по аналогичной формуле $ l=x'_B-x'_A=b \gamma \not = b $

В школьных учебниках и вузовских по общей физике это никак не объясняется и говорится, что мол так это и всё. Ну полагаю никому про это рассказывать не надо.
Но тогда вылезают парадоксы на вроде червяка, ползущего по сетке.

(описание парадокса, если кто не знает)

червяк, длинны $l$ ползёт по решетке, где длинна между прутьями чуть меньше чем $l$. Если он ползёт с около световыми скоростями, то в ИСО, связанной с решеткой, он сжимается и проваливается через неё, а в ИСО, связанной с ним самим, расстояние между прутьями сокращается и он не проваливается.

Я пришёл к выводу, что длинна шеста не сокращается и просто формула для вычисления длинны пригодна только в ИСО предмета.

Собственно это потому, что измерить расстояние между двумя точками, покоящимися относительно друг друга можно только в их ИСО.
В нашем случае в ИСО 1 у нас $ t_A=t_B=t $ и когда мы используем формулу $l=x_B-x_A $ то мы знаем, что стоящие там значения координат измерены одновременно. В ИСО 2 же $ t_A= t \gamma \not = t_B=\gamma (t - \frac{u}{c^2}b) $ и измерения происходят не одновременно, а значит и производить их бессмысленно. Так и при нерелятивистском случае можн овообще отрицательную длинну шест получить.

Так вот, правильные ли мои рассуждения или нет?

[DenisKolesnikov]

EvilPhysicist в сообщении #467948 писал(а):

Так вот, правильные ли мои рассуждения или нет?

Вроде верные, во всяком случае парадокс возникает именно из-за неодновременности

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #467948 писал(а):

В школьных учебниках и вузовских по общей физике

Не читайте СТО по чёрт-те-чему. Читайте по учебникам, в которых хотя бы четырёхвекторы изложены. Всё станет прозрачно, без якобы-глубокомысленных вопросов, которыми вы задаётесь.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #467961 писал(а):

Читайте по учебникам, в которых хотя бы четырёхвекторы изложены.

Дак читал. Давно правда читал. Но вот в Ладнау и Лифшице, в шестом издании, там прямо говорится, что шест имеет максимальную длину в собственной ИСО. И ещё что закон сохранения масс в СТО не выполняется.
Ещё В.А.Угарова читал, "Специальная Теория Относительности", третье издание. Там по этому поводу цитируют Эйнштейна, что мол вопрос о том происходит оно(сокращение длин) или нет, не имеет смысла, так как оно происходит для движущегося наблюдателя и не происходит для неподвижного.
Да и с геометрией он перемудрил. Сразу рассматривал два случая, с $\mathbb R^4 $ и метрической матрицей $g_{ij}=diag(+1,-1,-1,-1) $ и с $/mathbb C \times \mathbb R^2 $. Не знаю верно ли последнее записал, но он рассматривал 4х мерное пространство с тремя действительными и одним чисто мнимым измерениями.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #467982 писал(а):

Но вот в Ладнау и Лифшице, в шестом издании, там прямо говорится, что шест имеет максимальную длину в собственной ИСО. И ещё что закон сохранения масс в СТО не выполняется.

Ну, всё правильно.

Теперь:
- нарисуйте на плоскости $(x,t)$ мировые линии начала и конца шеста, движущегося в направлении оси $x,$ и ориентированного по этой оси;
- сформулируйте в инвариантных терминах, что понимается под собственной длиной шеста как геометрической величиной, относящейся к этому рисунку;
- выразите то, что получилось, через величины в заданной произвольной ИСО.

EvilPhysicist в сообщении #467982 писал(а):

Да и с геометрией он перемудрил.

Ну тогда не читайте Угарова. Мне лично он не нравится, хотя я не навязываю этого мнения. Ландау-Лифшица, Фейнмана или кого-нибудь ещё без комплексных чисел будет вполне достаточно. Комплексные числа - пережиток ранних свистоплясок вокруг СТО.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #468021 писал(а):

EvilPhysicist в сообщении #467982 писал(а):

Но вот в Ладнау и Лифшице, в шестом издании, там прямо говорится, что шест имеет максимальную длину в собственной ИСО. И ещё что закон сохранения масс в СТО не выполняется.

Ну, всё правильно.

По есть даже не смотря на то, что масса со скоростью не меняется закон сохранения массы не выполняется?

Munin в сообщении #468021 писал(а):

Теперь:
- нарисуйте на плоскости $(x,t)$ мировые линии начала и конца шеста, движущегося в направлении оси $x,$ и ориентированного по этой оси;
- сформулируйте в инвариантных терминах, что понимается под собственной длиной шеста как геометрической величиной, относящейся к этому рисунку;
- выразите то, что получилось, через величины в заданной произвольной ИСО.

-Не любитель рисовать, но это будет плоскость, с двумя параллельными прямыми
-интервал между концами шеста. Естественно имеется в виду лоренц-инвариантный интервал $ ds^2 = c^2 dt^2 - dl^2 $

Munin в сообщении #468021 писал(а):

Ландау-Лифшица, Фейнмана или кого-нибудь ещё без комплексных чисел будет вполне достаточно.

Фейнмана почему-то плохо усваиваю. Там букаф много. Мне формулами понятнее.

(Оффтоп)

Да и вообще все лекции и записи лекций из западных университетов которые видел больше шоу напоминали. После суровых лекций по общей физике, когда все не знают, что такое производная, а им дают тензоры инерции, уже не то.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #468027 писал(а):

По есть даже не смотря на то, что масса со скоростью не меняется закон сохранения массы не выполняется?

Да. Рассмотрите неупругое столкновение частиц: две частицы сталкиваются, слипаются, и образуют третью. Законы сохранения энергии и импульса выполняются.

EvilPhysicist в сообщении #468027 писал(а):

-Не любитель рисовать, но это будет плоскость, с двумя параллельными прямыми

Правильно.

EvilPhysicist в сообщении #468027 писал(а):

-интервал между концами шеста.

Неправильно. Интервал бывает между точками. Вы только что признались, что там будут две линии. Укажите точки, тогда можете говорить про интервал между ними.

Задача возвращается на доработку :-)

EvilPhysicist в сообщении #468027 писал(а):

Фейнмана почему-то плохо усваиваю. Там букаф много. Мне формулами понятнее.

Тогда возьмите задачник Лайтмана, Пресса, Прайса, Тюкольски, первые главы которого посвящены СТО. Там в начале каждой главы сводка формул на полстраницы. Компактней некуда.

Заодно решение задач (скажем из первой главы) и сверка с ответами могут помочь с пониманием.

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #468027 писал(а):

Да и вообще все лекции и записи лекций из западных университетов которые видел больше шоу напоминали. После суровых лекций по общей физике, когда все не знают, что такое производная, а им дают тензоры инерции, уже не то.

Ну да, у них же нет всеобщей воинской обязанности, от которой хочешь - не хочешь, будешь предмет зубрить...

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #468063 писал(а):

Да. Рассмотрите неупругое столкновение частиц

рассмотрел, действительно.

Munin в сообщении #468063 писал(а):

Неправильно. Интервал бывает между точками

Ну дак берем точку на одном конце шеста $ \vec x_a$, другую на другом конце шеста $\vec x_b$. Тогда собственная длина стержня эти длинна 4х вектора $ \vec c= \vec x_b-\vec x_a=c^i \vec e_i $, $ c^i=(0,b,0,0) $ и значит $ \lvert \vec c \rvert = b $

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #468074 писал(а):

Ну дак берем точку на одном конце шеста , другую на другом конце шеста .

Конец шеста - не точка, а мировая линия. Где вы на ней собрались брать точку, конкретно?

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #468158 писал(а):

Где вы на ней собрались брать точку, конкретно?

Выбираем любую точку на мировой линии одного конца шеста, это точке соответствует какое-то собственное время этой точки. Так как в системе шеста часы на его концах идут синхронно, то вторую точку, на мировой линии другого конца шеста мы должны выбрать так, чтобы её собственное время совпало с собственным временем первой точки. Вот между ними интервал и считаем.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #468160 писал(а):

Так как в системе шеста часы на его концах идут синхронно, то вторую точку, на мировой линии другого конца шеста мы должны выбрать так, чтобы её собственное время совпало с собственным временем первой точки.

Отлично. Теперь опишите это геометрическим языком (там всё просто на школьном уровне).

И ещё, после этого вашего описания формулы в post468074.html#p468074 неверны.

[EvilPhysicist]

Рассматриваем шест в его системе отсчёта.
У одного его конца $A$ координаты $A^i=(ct,0,0,0,) $, у конца $B $ координаты $B^i=(ct,b,0,0,0) \quad b \in \mathbb R $. Часы на концах идут синхронно по этому в любой момент времени интервал между этими точками будет постоянен, и для любого момента времени эти точки будут соединены вектором $ \vec c = \vec b - \vec a$, $c^i= B^i-A^i=(0,b,0,0) $ и его длинна, равная собственной длине стержня $ \lvert \vec c \rvert = b $. Преобразования Лоренца её сохраняют. Вроде всё так.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #468308 писал(а):

Рассматриваем шест в его системе отсчёта.

Ну нет. Я вас сказал: в другой системе отсчёта. Учитесь пользоваться инвариантным языком.

EvilPhysicist в сообщении #468308 писал(а):

Преобразования Лоренца её сохраняют.

Преобразования Лоренца выводят вас из системы отсчёта шеста. И в этой другой системе отсчёта вы пока не сообразили, как выбирать точки.

Подсказка: рассмотрите чисто геометрическую задачу. У вас есть две параллельные линии. Если вы разворачиваете лист бумаги так, что они стоят вертикально, то искомая вами величина - расстояние между двумя точками на этих параллельных, где точки расположены на одной горизонтали. Как это расстояние называется при произвольном расположении листа бумаги? Как его найти при произвольном положении листа бумаги, выбрав произвольную точку на одной из параллельных? И как записать эту искомую величину формулой, имея формулы параллельных прямых, произвольно расположенных в декартовой системе координат? Если вы школьную геометрию не забыли, это должно быть для вас элементарно (последний пункт требует аналитической геометрии за 1 курс).

[EvilPhysicist]

Рассмотрим ИСО, в которой оба конца шеста движутся со скоростью $v$, и длинна шеста в этой системе $d$.
Тогда рассматриваем две прямые $l_1:x=vt$ и $ l_2 : x=d+ vt $, у них направляющие вектора $ \vec a= (1,v) $, значит нормальные им вектор $ \vec n= (v ,-1) $. Опишем прямую, с направляющим вектором $\vec n$ и проходящую через точку $(0,0)$. $ t= -vx $ или $ t+vx=0 $. Найдём её пересечение с прямой $l_2$.

$$ \begin{cases} t+vx=0 \\ vt - x = -d \end{cases} \quad \begin {pmatrix} 1 & v& \lvert 0 \\ v & -1 & \lvert -d \end{pmatrix} \quad \Delta=\left \lvert \begin {pmatrix} 1 & v \\ v & -1 \end{pmatrix} \right \rvert = -(1+v^2) \quad \Delta_1=\left \lvert \begin {pmatrix} 0 & v \\ -d & -1 \end{pmatrix} \right \rvert = dv \quad $$

$$ \Delta_2=\left \lvert \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ v & -d \end{pmatrix} \right \rvert = -d \quad t_0=\frac{-dv}{1+v^2} \quad x_0 = \frac{d}{1+v^2} $$

И у нас есть вектор $\vec c = (\frac{-dv}{1+v^2}, \frac{d}{1+v^2})$,который соединяет точки концов шеста в момент времени 0, по их собственному времени и длинна его $ \lvert \vec c \rvert = d \frac{\sqrt{v^2-1}}{v^2+1} $.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #468538 писал(а):

значит нормальные им вектор

Верно! Это ключевой момент для поиска ответа на вопрос.

Вот только дальше всё неправильно. Чтобы найти нормальный вектор, используйте псевдоевклидову метрику.