Задача о матожиданиях (неравенство)

[cyb12]

Есть такая задача: доказать, что $E|\xi\eta|\leqslant \sqrt{E\xi^2\,E\eta^2}$ для с.в. $\xi,\,\eta,$ имеющих конечный второй момент.

Вот что получилось:
Так как коэффициент корреляции не больше 1, то

$$E|\xi\eta|\leqslant E|\xi|\,E|\eta|+\sqrt{D|\xi|\,D|\eta|},$$

так как $\sqrt a + \sqrt b \leqslant \sqrt{2(a+b)},$ то

$$E|\xi|\,E|\eta|+\sqrt{D|\xi|\,D|\eta|} \leqslant \sqrt 2 \sqrt { (D|\xi|+ (E|\xi|)^2)(D|\eta|+ (E|\eta|)^2) }=\sqrt{2} \sqrt{E\xi^2\,E\eta^2}.$$

Как избавиться от коэффициента? Или как решать по-другому?

[ewert]

cyb12 в сообщении #468265 писал(а):

Или как решать по-другому?

Или. Это просто неравенство Коши-Буняковского.

[cyb12]

и правда))

[Gortaur]

Коши-Буняковский - это, конечно, здорово. Но что значит "если коэффициент корреляции не больше единицы"? А когда он больше?

[ewert]

Gortaur в сообщении #468356 писал(а):

"если коэффициент корреляции не больше единицы"?

Не "если", а "так как". Но пытаться доказывать таким способом несколько нелепо, т.к. сам по себе этот факт как раз из неравенства Коши-Буняковского и вытекает.

[Gortaur]

А да, Вы правы.