Ещё раз о трисекции

[врач-реаниматолог]

Не нашёл свою старую тему и не вспомнил ссылку на рисунок.
Поэтому вкратце напомню:
Я предлагал следующее - на биссектрисе данного угла построить прямой угол так, чтобы биссектриса прямого угла совпадала с биссектрисой данного. Затем проводим дугу радиусом равным расстоянию от вершины прямого угла (О1) до точек пересечения со сторонами заданного угла. Эту дугу делим на три части. Соединяем полученные точки с вершиной данного угла (О). Исходя из того, что при смещении точки О1 в точку О соотношения углов не изменятся, то трисекция окажется выполненая и для данного угла. Большинство оппонентов тогда доказывало, что соотношения углов при смещении не сохранятся.
Предлагаю следующее:
Постройте произвольный угол АОВ с вершиной В. На продолжении ВО отложите расстояние равное ОА. Получим точку О1( смещение вершины О в точку О1). Угол О1ОА будет равен 180-АОВ. Треугольник О1ОА - равносторонний по построению. А значит угол О1ОА равен половине угла АОВ (180 - уголАОВ/2). То есть выходит следующее при смещении точки О в точку О1 угол уменьшается в 2 раза. И любые другие углы внутри угла АОВ тоже уменьшатся ровно в два раза. Соотношения углов соответственно тоже не изменятся.
А теперь у меня вопрос - если соотношения углов не изменяются (все уменьшаются ровно в 2 раза) при смещении точки О в точку О1 на расстояние равное ОА, то правомочно ли утверждать, что и при любом другом смещении соотношения сохраняются?
Ещё. Интуитивно чувствую, что справедливым окажется следующее утверждение - при смещении вершины угла на расстояние l n раз, угол уменьшится в n+1 раз. Доказать не могу. Попробуйте кто-нибудь доказать это утверждение. Если его доказать, то можно и доказать возможность проведения n-секции угла, а так построение любого правильного n-угольника.
И ещё (хотя это может быть и просто бред). Если предыдущее утверждение верно, то при смещении в бесконечное кол-во раз, угол уменьшится в бесконечнось+1...

[Lion]

Цитата:

Постройте произвольный угол АОВ с вершиной В. На продолжении ВО отложите расстояние равное ОА. Получим точку О1( смещение вершины О в точку О1). Угол О1ОА будет равен 180-АОВ. Треугольник О1ОА - равносторонний по построению. А значит угол О1ОА равен половине угла АОВ (180 - уголАОВ/2). То есть выходит следующее при смещении точки О в точку О1 угол уменьшается в 2 раза. И любые другие углы внутри угла АОВ тоже уменьшатся ровно в два раза. Соотношения углов соответственно тоже не изменятся.

Почему треугольник $O_1OA$ равносторонний? Он только равнобедренный.
Как угол $O_1OA$ может быть равен половине угла AOB, особенно если первый --- тупой, а второй --- острый? Ведь тогда всегда $AOB=2\pi/3$.
Я не понимаю, что такое "смещение" и почему при этом должны уменьшаться углы.

Цитата:

Интуитивно чувствую, что справедливым окажется следующее утверждение - при смещении вершины угла на расстояние l n раз, угол уменьшится в n+1 раз.

Интуиция часто подводит. Сейчас как раз такой случай.

Цитата:

И ещё (хотя это может быть и просто бред). Если предыдущее утверждение верно, то при смещении в бесконечное кол-во раз, угол уменьшится в бесконечнось+1...

Это действительно бред...

P.S. Наверное, стандартное доказательство невозможности трисекции произвольного угла Вас не устроит?..

[врач-реаниматолог]

Таки наделал ошибок
Да, действительно треугольник ОО1А - равносторонний, но сути это не меняет.
А с углом облажался. Угол ОО1А , а не О1ОА (это ошибка).
ОО1А будет в 2 раза меньше АОВ.
А почему будет в 2 раза меньше? Так если угол О1ОА равен 180 - угол АОВ ( как смежные), то и в треугольнике ОО1А на два равных угла при основании останется величина равная углу АОВ.
А смещение... Даже не знаю как обьяснить, чертить всё-таки надо, наверное.
Если изобразите, то что я предлагаю - поймёте.

[Lion]

Повторяю, треугольник $OO_1A$ равнобедренный, а не равносторонний!
Вы правы в том, что $AO_1O=AOB/2$.
Под "смещением" Вы, наверное, понимаете параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{OO_1}$. Поскольку это движение, то равные углы перейдут в равные. Но что Вы понимаете под "отношением углов"? Какие углы здесь имеются в виду и почему отношение их мер должно сохраняться?

[Someone]

Lion писал(а):

Под "смещением" Вы, наверное, понимаете параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{OO_1}$.

Насколько я помню его прошлые построения, под смещением врач-реаниматолог понимает перенос вершины угла из точки $O_1$ в точку $O$. При этом остаются неподвижными по одной точке на каждой из сторон угла.

Его старая тема - Невозможные геометрические построения.

[Lion]

Мда... Честно пытался понять построение, изложенное в старой теме врач-реаниматолог'a, но увы...
Было бы легче, если бы кто-нибудь объяснил мне, что же такое смещение. Someone, Вы можете пояснить, о каких именно точках идет речь?
И еще просьба к врач-реаниматолог'у. Объясните все-таки, об отношении мер каких углов Вы говорите, и почему это отношение сохраняется при т.н. "смещении"?

[Someone]

Lion писал(а):

Было бы легче, если бы кто-нибудь объяснил мне, что же такое смещение. Someone, Вы можете пояснить, о каких именно точках идет речь?

врач-реаниматолог писал(а):

Я предлагал следующее - на биссектрисе данного угла построить прямой угол так, чтобы биссектриса прямого угла совпадала с биссектрисой данного. Затем проводим дугу радиусом равным расстоянию от вершины прямого угла (О1) до точек пересечения со сторонами заданного угла. Эту дугу делим на три части. Соединяем полученные точки с вершиной данного угла (О). Исходя из того, что при смещении точки О1 в точку О соотношения углов не изменятся, то трисекция окажется выполненая и для данного угла. Большинство оппонентов тогда доказывало, что соотношения углов при смещении не сохранятся.

Построение следующее. Берём острый угол с вершиной $O$ и сторонами (лучами) $l_1$ и $l_2$. На биссектрисе этого угла берём точку $O_1\neq O$ и строим прямой угол, откладывая от биссектрисы углы по $\frac{\pi}4$ в обе стороны (таким образом, чтобы точка $O$ была вне построенного прямого угла). Обозначим $A$ и $B$ точки пересечения сторон прямого угла с $l_1$ и $l_2$. Проведём дугу окружности радиуса $O_1A$ между точками $A$ и $B$ (внутри прямого угла). Прямой угол нетрудно разделить на три равные части. Пусть $l_3$ и $l_4$ - трисектрисы прямого угла, и пусть $C$ и $D$ - точки пересечения трисектрис с дугой окружности (порядок точек на дуге окружности: $A$, $C$, $D$, $B$). Проведём прямые $OC$ и $OD$. врач-реаниматолог считает, что отношения углов $\angle AOC$, $\angle COD$, $\angle DOB$ такие же, как отношения углов $\angle AO_1C$, $\angle CO_1D$, $\angle DO_1B$. Вот этот переход от вершины $O_1$ к вершине $O$ врач-реаниматолог и называет смещением. Ну, представьте себе, что мы взяли точку $O_1$ и перемещаем её по плоскости, а лучи, выходящие из неё (стороны угла и трисектрисы) в процессе перемещения всё время проходят через точки $A$, $C$, $D$, $B$. Автор этого построения считает, что в процессе перемещения отношения углов не изменяются, поэтому, когда мы дотащим точку $O_1$ до точки $O$, мы получим трисекцию заданного угла.

Прошлый раз общими усилиями пытались объяснить автору, что отношения углов не сохраняются при таком перемещении, но, похоже, так и не преуспели в этом.

[Lion]

Спасибо, Someone.
врач-реаниматолог, а Вы можете изложить хотя бы общие предположения, почему отношение этих углов будет сохраняться? Или, может быть, Вы можете посчитать получившиеся углы для какого-гибудь простого случая, скажем, когда исходный угол равен $\pi/3$. Тогда уже можно будет судить о том, насколько верны Ваши результаты.

[врач-реаниматолог]

Спасибо, Someone!
Вы гораздо лучше меня обьясняете!
Почему я считаю, что соотношения не изменятся?
Я уже говорил, что при перемещении вершины О1 в вершину О на расстояние равное О1А ( и вроде даже доказал) угол уменьшится ровно в два раза. Но отсюда же следует, что все остальные углы, построенные внутри прямого угла уменьшаться ровно в два раза. То есть при перемещении на рсстояние равное О1А все углы уменьшатся в два раза и соотношение между ними не изменится.
Я ведь и спрашивал: Если как минимум при перемещении на одно растояние соотношения углов не изменяются, то можно ли утверждать, что и при любых других перемещениях соотношения сохранятся?
Я буду искренне благодарен Вам Someone, Если Вы найдёте время и желание "перевести" мои мысли на доступный для других математиков язык.

[Someone]

врач-реаниматолог писал(а):

Почему я считаю, что соотношения не изменятся?
Я уже говорил, что при перемещении вершины О1 в вершину О на расстояние равное О1А ( и вроде даже доказал) угол уменьшится ровно в два раза. Но отсюда же следует, что все остальные углы, построенные внутри прямого угла уменьшаться ровно в два раза. То есть при перемещении на рсстояние равное О1А все углы уменьшатся в два раза и соотношение между ними не изменится.
Я ведь и спрашивал: Если как минимум при перемещении на одно растояние соотношения углов не изменяются, то можно ли утверждать, что и при любых других перемещениях соотношения сохранятся?

То, о чём Вы говорите, - хорошо известное свойство вписанных и центральных углов в круге, которое легко можно найти в школьном учебнике: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. При других перемещениях отношения углов не сохраняются.

[врач-реаниматолог]

Тупой вопрос, но почему не сохраняются?

[Someone]

врач-реаниматолог писал(а):

Тупой вопрос, но почему не сохраняются?

Надо просто взять и вычислить, какие получаются углы после переноса вершины. Но тут сразу вылезет много тригонометрии, а Вы писали, что её недолюбливаете. А то бы сами и посчитали.

[врач-реаниматолог]

Я ведь что имею ввиду.
Если (отбросим пока произвольный угол) взять центральный прямой и вписанный угол в 45.
Прямой разделён на три части, значит и вписаный угол тоже разделён на три части. С моими обозначениями - прямой - АОВ, в 45 - АО1В. О и О1 лежат на прямой, которая является общей биссектрисой. На дуге АВ точки Д и С делят углы на три равных части.
А теперь если представить перемещение точки О в О1, то при условии, что в момент перемещения соотношения углов не сохраняются ( то есть какой-то из углов становится больше или меньше двух других) получится, что при перемещении происходит нарушение равенства углов, которое затем (вдруг?) восстанавливается ( в точке О1). Я правильно понял?

Может всё-таки логичней будет звучать предположение, что все углы с вершиной О2, лежащей между О и О1 сохранят три равных части? ( все углы опираются на одну дугу)

[AndAll]

врач-реаниматолог писал(а):

... На дуге АВ точки Д и С делят углы на три равных части...

....Может всё-таки логичней будет звучать предположение, что все углы с вершиной О2, лежащей между О и О1 сохранят три равных части? ( все углы опираются на одну дугу)

Если на одном луче, как на биссектрисе, построить два разных угла, не исходящих из одной точки, то нельзя построить одну дугу, на которую опирались бы оба эти угла. Даже если дуги проходят через точки пересечения лучей, образующих эти углы, это будут разные дуги для разных углов. При малых углах Вы «на глаз» этого не заметите, но Вы же говорите о математическом построении, а не о приближенном.
Можно считать, что у Вас все логично, но посылка об одной и той же дуге для построенных Вами разных углов неверна.

[врач-реаниматолог]

Нельзя говорите...
Вернёмся к построению.
Прямой угол АОВ. Дуга АВ. Точки С и Д, делящие угол АОВ на три части.
Есть биссектриса ОЕ.
Строим точку О1 на продолжении влево ОЕ. Откладываем ОО1,равную ОА. Получаем О1А. АО1Е в два раза меньше АОЕ. Анналогично угол СО1Е в два раза меньше СОЕ. Таким же образом ДО1Е меньше ДОЕ в 2 раза,а ВО1Е в 2 раза меньше ВОЕ.
То есть получаем угол АО1В в два раза меньше угла АОВ, и соответственно углы АО1С, СО1Д и ДО1В в два раза меньше исходных АОС, СОД, ДОВ. Углы АОВ и АО1В опираются на одну дугу, и оба разделенны на три равных части.
Или Вы,господа будете утверждать,что я не прав?