Преобразование Бокса-Мюллера

[ShMaxG]

У меня такой небольшой вопросик.

$$X_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\cos 2 \pi U_2$$

$$X_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\sin 2 \pi U_2$$

Для доказательства гауссовости совместного распределения обычно выражают $U_1$ и $U_2$ через $X_1$ и $X_2$. С $U_1$ все понятно, там все однозначно. Но с $U_2$ не очень понятно. Даже в оригинальной статье можно увидеть что-то типа:

$$U_2 = \frac{1}{2 \pi} \arctan {\frac{X_2}{X_1}}$$

.

Иногда пишут $\tan^{-1}$. Но ведь значения арктангенса лежат на интервале $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ и получается, что $U_2 \in (-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$. В чем дело?

-- Вт июл 12, 2011 22:02:59 --

Вообще, чтобы воспользоваться формулой вычисления плотности совместного распределения пары $(X_1,X_2)$ в терминах плотности совместного распределения пары $(U_1,U_2)$, то соответствия между этими случайными величинами должны быть взаимнооднозначными непрерывно дифференцируемыми функциями. А косинус и синус на участках $(0,2\pi)$ таковыми не являются.

[ShMaxG]

А, кажется я разобрался в чем дело. Не, все однозначно определено. Действительно, $U_1$ можно определить абсолютно точно. Но $U_2$ тоже определяется точно, поскольку даны и синус, и косинус. Т.е.:

$$\[\left\{ \begin{gathered} \cos x = a \hfill \\ \sin x = b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \arctan \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a,b > 0 \hfill \\ x = \pi + \arctan \frac{b}{a},\,\,\,\,\,a < 0 \hfill \\ x = 2\pi + \arctan \frac{b}{a},{\text{ }}a > 0,b < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Функции, устанавливающие соответсвтвия между случайными величинами, являются кусочно непрерывно дифференцируемыми. На разных участках эти функции отличаются на константы, т.е. производные везде, кроме особых точек, одинаковые. Но функции плотности вообще все равно, что у нее в отдельных точках. Так что действительно, пользоваться формулой вычисления функции плотности совместного распределения пары $(X_1,X_2)$ в терминах плотности совместного распределения пары $(U_1,U_2)$ можно.

[ewert]

Да там отдельные точки и всякие возни с кусочностями вообще не при чём. Просто выписываем тупо якобиан преобразования между декартовыми координатами и полярными -- и всё сойдётся.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #467816 писал(а):

Просто выписываем тупо якобиан преобразования между декартовыми координатами и полярными

Чтобы написать нужный якобиан нужно сначала определить обратное преобразование корректно. Везде пишут просто арктангенс, но это же не так... А потом вычислить необходимые производные и т.д.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #467830 писал(а):

Чтобы написать нужный якобиан нужно сначала определить обратное преобразование корректно.

"В действительности всё не так, как на самом деле". Зачем выписывать обратное преобразование, когда можно написать прямое. Вот те самые формулы как раз ровно прямой переход от полярных координат к декартовым и дают. Кстати, "прямое" -- потому, что для практических целей переход именно в эту сторону и нужен, арктангенсы же никому не нужны.

[_hum_]

ewert в сообщении #467816 писал(а):

Да там отдельные точки и всякие возни с кусочностями вообще не при чём. Просто выписываем тупо якобиан преобразования между декартовыми координатами и полярными -- и всё сойдётся.

А разрешите уточнить, разве всюду ненулевой якобиан гарантирует биективность всего отображения? Или в формуле замены переменных в кратном интеграле не требуется глобальная биективность в области интегрирования?

[ewert]

_hum_ в сообщении #467937 писал(а):

Или в формуле замены переменных в кратном интеграле не требуется глобальная биективность в области интегрирования?

Ловля блох. Здесь-то мы с самого начала знаем, что отображение полярной полуполосы на декартову плоскость биективно.

[_hum_]

ewert в сообщении #467944 писал(а):

_hum_ в сообщении #467937 писал(а):

Или в формуле замены переменных в кратном интеграле не требуется глобальная биективность в области интегрирования?

Ловля блох. Здесь-то мы с самого начала знаем, что отображение полярной полуполосы на декартову плоскость биективно.

Ясно. Просто, насколько я понял, ShMaxG интересовал в том числе вопрос, почему оно биективно. А по Вашему ответу можно было неправильно понять, что биективность следует из невырожденности матрицы Якоби.

[ewert]

ну тут, если уж придираться, то действительно есть вопрос -- что конкретно чему биективно. Но вопрос этот -- праздный, поскольку сомнительные участки так и так имеют меру ноль, с какой стороны ни посмотри.

[ShMaxG]

ewert
Детерминант якобиана обратного преобразования обратен якобиану прямого преобразования, это Вы имеете ввиду? Ну если так, то все получается, да.
Но меня просто мучает вопрос, мы же видели, что обратные преобразования (полярные координаты от декартовых) не везде дифференцируемы. А тут мы получаем очень даже приличный якобиан. В чем дело, не могу понять...

[_hum_]

Цитата:

мы же видели, что обратные преобразования (полярные координаты от декартовых) не везде дифференцируемы

вообще-то всюду, за исключением естественного разреза по Ox.

[ShMaxG]

Там, как я определил выше обратное отображение, особенности когда косинус в нуль обращается (т.е. на оси Оу) и когда при косинус равен 1, синус 0 (положительная часть Ох). Ну да ладно, это все не важно. В якобиане никаких таких особенностей нет.

[_hum_]

ShMaxG в сообщении #468045 писал(а):

В якобиане никаких таких особенностей нет.

Потому как рассматривается якобиан не исходного отображения, а суженного на область, полученную путем отбрасывания всех "особенностей".

[ShMaxG]

Так наверно происходит, потому что теорема об обратном преобразовании -- локальная. Из непрерывной дифференцируемости прямого преобразования будет следовать непрерывная дифференцируемость обратного преобразования, но лишь локально. Т.е. в каждой точке можно выбрать такую окрестность, что прямое и обратное преобразования непрерывно дифференцируемы. Поэтому якобиан не обладает особенностями, какими обладает обратное преобразование координат, которое я вверху выписал.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #468045 писал(а):

особенности когда косинус в нуль обращается (т.е. на оси Оу) и когда при косинус равен 1, синус 0 (положительная часть Ох).

Честно говоря, я в эти нюансы не вникал. За ненадобностью: раз прямое преобразование биективно и гладко, то и обратному ничего не остаётся делать, кроме как аналогично. Нужно лишь аккуратненько пере- или доопределить арктангенс (возможно, те буржуи именно это и имели в виду); но кому это нужно-то?...