Система уравнений

[HA3AP4uK]

Верно ли, что система уравнений (относительно натуральных переменных $n, m, k, p$)

$$ \begin{cases} n+m=k+p \\ nm=akp \end{cases} $$

а) имеет хотя бы одно решение для любого натурального $a$?
б) имеет хотя бы одно решение для любого положительного рационального $a$?

[VAL]

HA3AP4uK в сообщении #467566 писал(а):

Верно ли, что система уравнений (относительно натуральных переменных $n, m, k, p$)

$$ \begin{cases} n+m=k+p \\ nm=akp \end{cases} $$

а) имеет хотя бы одно решение для любого натурального $a$?
б) имеет хотя бы одно решение для любого положительного рационального $a$?

А куда вы предлагаете эту задачу?
В Математический марафон?
В Марафон головоломок?

PS: Совсем замарафонился. Отвечал в личку, а попал на форум :)
Еще куда-то?

[HA3AP4uK]

VAL в сообщении #467592 писал(а):

HA3AP4uK в сообщении #467566 писал(а):

Верно ли, что система уравнений (относительно натуральных переменных $n, m, k, p$)

$$ \begin{cases} n+m=k+p \\ nm=akp \end{cases} $$

а) имеет хотя бы одно решение для любого натурального $a$?
б) имеет хотя бы одно решение для любого положительного рационального $a$?

А куда вы предлагаете эту задачу?
В Математический марафон?
В Марафон головоломок?
Еще куда-то?

Мне всё равно. Помещайте, куда хотите. Лишь бы польза была.

[Руст]

Задача не дотягивает до уровня олимпиадных.
Если имеется рациональные решение то имеется и натуральное, получающееся умножением всех чисел на общий знаменатель.
Если $a>\frac 12$ получаем решение $n=2a-1,m=2a, k=4a-2,p=1$.
Если $a\le 2$ меняем местами пару $k.p$ и $m,n$ заменой $a$ на $1/a$.

[HA3AP4uK]

(здесь был бред)

-- 12.07.2011, 17:30 --

И вправду, до уровня олимпиадных недотягивает.