Максимум интеграла

[arqady]

Пусть $f$ итегрируема и неотрицательна на $[0,1]$, для которой $\int\limits_0^1f(x)dx=a$.
Найдите $\sup\limits_{f}\int\limits_0^1xf(x)dx$.

[ewert]

Очевидно, что $a$ -- достаточно рассмотреть дельтообразную последовательность, стягивающуюся к правому краю.

(Вы что, решили принять эстафету у myra_panama, да?...)

[arqady]

Совсем нет. Просто почти никто ничего из моих задач не решает, так решил что-то простенькое дать.
Совсем не хотел Вас этим обидеть.
Вот Вы, например, почему не доказываете мои неравенства? Ваша же область.

[ewert]

arqady в сообщении #467580 писал(а):

так решил что-то простенькое дать.

ну я лишь имел в виду, что Вы несколько перестарались -- здесь решение просто напрашивается. Т.е. сходу напрашивается детская оценка $\int\limits_0^1x\,f(x)\,dx\leqslant\max\limits_{x\in[0;1]}x\cdot\int\limits_0^1f(x)\,dx=1\cdot a$ -- и остаётся лишь призадуматься над тем, насколько и по каким причинам это неравенство грубое, после чего всё становится очевидным.

[myra_panama]

arqady в сообщении #467580 писал(а):

Просто почти никто ничего из моих задач не решает

А это правда! .. У ewert-а не чего себя психология , он не хочет признать,что есть студенты которые начинают изучать что-то (олимпиадное ) , но он не

[ewert]

arqady в сообщении #467580 писал(а):

Вот Вы, например, почему не доказываете мои неравенства? Ваша же область.

нет, ну что Вы. Я никогда не интересовался неравенствами вообще, кроме необходимых.

[arqady]

ewert в сообщении #467587 писал(а):

Я никогда не интересовался неравенствами вообще, кроме необходимых.

А как это определить, что необходимо, а что - нет? Всё ж одно - математика.

[ewert]

arqady в сообщении #467589 писал(а):

А как это определить, что необходимо, а что - нет? Всё ж одно - математика.

Легко: что надо для работы, то и необходимо. Всю же математику всё равно не узнаешь.

Конкретнее: предлагаемые Вами неравенства -- конечно, вполне олимпиадны, но никакого прикладного значения для себя в них не вижу. Специфических же приёмов, которые там используются, не знаю. Поэтому они меня, как правило, и не заинтересовывают.