Интегрируемость функции по Риману и односторонние пределы

[undeddy]

Обязательно ли интегрируемость по Риману вещественной функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ влечёт существование пределов $\lim\limits_{x\to a+0} {f(x)}$ и $\lim\limits_{x\to b-0} {f(x)}$ ?

[ewert]

Контрпример: $f(x)=\sin{1\over x}.$

[undeddy]

В явном виде найти интеграл от этой функции на $[0,1]$ не получится? Интегрируемость можно доказать только общими соображениями?

[ewert]

Да.

Возможно, я неправильно понял смысл вопроса. Основная теорема, связанная с определением интеграла по Риману -- интегрируемость любой функции, непрерывной на замкнутом промежутке, т.е. включая концы. А за ней следуют обобщения, простейшее из которых -- это интегрируемость при наличии не более чем конечного количества точек разрыва (и при условии ограниченности функции). Так вот: ситуация, которая Вас интересует -- частный случай этой самой второй теоремы.

[Quant]

В той теореме вроде о разрывах 1 рода говорилось. А в Вашем примере разрыв в нуле 2 рода.

[ewert]

Quant в сообщении #467295 писал(а):

В той теореме вроде о разрывах 1 рода говорилось.

Нет, там род не важен, нужна лишь ограниченность функции (но она всё равно заведомо необходима для интегрируемости по Риману). Посмотрите доказательство -- и увидите, что род разрывов там нигде не используется.

[Quant]

Да, осознал ошибку.

[AD]

undeddy в сообщении #467267 писал(а):

В явном виде найти интеграл от этой функции на $[0,1]$ не получится? Интегрируемость можно доказать только общими соображениями?

Несложно получить аналогичную функцию, от которой интеграл легко считается в явном виде. Можно, например, взять готовый интеграл $F(x)=x^2\sin\frac1x$ и посчитать производную, она получится ограниченной и с разрывом в нуле, то есть то же самое плюс некий гладкий добавочек.

[nnosipov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #467271 писал(а):

Основная теорема, связанная с определением интеграла по Риману -- интегрируемость любой функции, непрерывной на замкнутом промежутке, т.е. включая концы. А за ней следуют обобщения, простейшее из которых -- это интегрируемость при наличии не более чем конечного количества точек разрыва (и при условии ограниченности функции).

Интересно, а рассказывают ли студентам про критерий интегрируемости по Риману? Наверное, только студентам-математикам.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #469221 писал(а):

Интересно, а рассказывают ли студентам про критерий интегрируемости по Риману?

Нет, сию тайну от них скрывают. Да она практически и не нужна.